1. Зоны Френеля

Для объяснения дифракции Френель предложил модель так называемых полуволновых зон. Зоны Френеля строятся следующим образом. Выберем вспомогательную волновую поверхность в виде сферы радиуса SO = а с центром в точке S , где находится точечный источник света (рис.2). Согласно принципу Гюйгенса-Френеля, данную поверхность можно рассматривать как источник вторичных световых волн.

Выберем в пространстве произвольную точку наблюдения Р , отстоящую от волновой поверхности на расстояние b. Из точки Р , как из центра, проведем ряд секущих концентрических сферических поверхностей, первая из которых будет иметь радиус b + /2. Радиусы последующих сфер увеличиваются на /2. Таким образом, расстояния от границ образовавшихся на волновой поверхности кольцевых зон (зон Френеля) до точки наблюдения отличаются на половину длины световой волны. Обозначив границы зон буквами М₁ , М₂ , М₃ , … , получим

М ₁Р = ОР + /2 ,

М₂Р = М₁Р + /2 ,

. . . . . . . . . . . . . . .

М_mР = М_m-1Р + /2.

Смысл разбиения вспомогательной волновой поверхности на зоны состоит в том, что разность фаз элементарных вторичных волн, приходящих в точку наблюдения от данной зоны, не превышает величины  . Сложение таких волн приводит к их взаимному усилению. Поэтому каждую зону Френеля можно рассматривать как источник вторичных волн, имеющих определенную фазу. Тогда от двух соседних зон Френеля в точку Р будут приходить волны в противофазах. (Подчеркнем, что положение границ зон Френеля зависит от выбора точки наблюдения.) Амплитуда волны, приходящей от каждой зоны в точку наблюдения, будет пропорциональна площади зоны. Чтобы оценить вклад френелевских зон в результирующую амплитуду, вычислим площади зон Френеля.

Н а рис. 3 показаны точечный источник света S, точка наблюдения P, часть волновой поверхности и граница центральной зоны Френеля M₁ . Отрезок r₁ , измеряемый по перпендикуляру, проведенному от границы зоны до линии SP , называется радиусом зоны. Очевидно, что

r₁² = a² – (a – x)² , (1)

r₁² = (b + /2)² – (b + x)² . (2)

Приравняем правые части этих равенств. Учтем, что в оптике интересен случай, когда а  , x, и пренебрежем слагаемыми ² и x². Получим

(3)

Найдем площадь первой зоны Френеля, считая ее равной площади сферического сегмента:

Тогда площадь кольцевой зоны Френеля с номером m будет равна разности площадей двух соседних сферических сегментов:

Получилось, что все зоны Френеля равновелики и должны посылать в точку наблюдения волны с одинаковыми по величине амплитудами. Однако Френель полагал, что амплитуды этих волн убывают с номером зоны. В теории Френеля не было объяснения этому факту, и только в теории Кирхгофа был достаточно строго обоснован специальный «коэффициент наклона», учитывающий то обстоятельство, что вклад любой излучающей поверхности в результирующее поле зависит от ориентации данного элемента по отношению к направлению на точку наблюдения. Мы же пока ограничимся тем, что будем считать амплитуды волн, приходящих в точку Р , монотонно убывающими с номером зоны.

В качестве тестовой дифракционной задачи, решаемой методом зон Френеля, рассмотрим случай, когда свет от источника к наблюдателю идет свободно, т. е. на пути световых волн нет никаких препятствий. При этом работают все зоны Френеля, и амплитуда результирующей волны, приходящей в произвольную точку пространства, будет

Е₀ = Е₀₁ – Е₀₂ + Е₀₃ – Е₀₄ + Е₀₅ – Е₀₆ + . . . . (4)

Здесь Е₀₁ , Е₀₂ , … - амплитуды волн от 1-й, 2-й, и т. д. зон Френеля; чередующиеся знаки перед слагаемыми указывают на то, что волны от соседних зон приходят с разностью фаз в  . Получившийся знакопеременный ряд является убывающей арифметической прогрессией. Запишем его, разделив каждое слагаемое с нечетным номером пополам и группируя члены ряда определенным образом:

Согласно свойству членов арифметической прогрессии, каждая сумма внутри скобок равна нулю. В результате имеем

(5)

т. е. в случае свободного распространения света результирующая амплитуда такая же, как если бы действовала только половина центральной зоны Френеля. Получается, что если на пути световой волны поместить непрозрачный экран, закрывающий все зоны Френеля, кроме половины центральной, освещенность точки Р будет такой же, как и в случае отсутствия экрана. Это необычный дифракционный эффект, который позволяет сделать весьма ценный вывод.

Найдем общую формулу для вычисления радиуса любой зоны Френеля. Сначала подставим в (1) и (2) величину x из (3) и получим радиус

первой зоны:

(6)

Аналогичным образом для радиуса m-й зоны Френеля имеем

(7)

Теперь можно оценить размер радиуса первой зоны. Например, для а = b = 1 м и  = 5,510^-7 м, получим r₁  0,5 мм. Таким образом, в случае свободного распространения света практически вся интенсивность сосредоточена в узком канале диаметром менее 1 мм. Иначе говоря, при отсутствии каких-либо экранов свет идет практически прямолинейно.

Если на пути между источником и точкой наблюдения поместить непрозрачный экран с круглым отверстием, то интенсивность в точке наблюдения будет зависеть от числа зон Френеля, укладывающихся в отверстие. Если число зон окажется нечетным, то, согласно (4), результирующая амплитуда, а, значит, и интенсивность будет максимальной. Если же число зон – четное, то в точке наблюдения света не будет, она окажется темной.