Теориявероятностейиматематическаястатистика_длядневногоотделения_2011-12уч.Год

Тема1.Основныепонятияитеоремытеориивероятностей

ВформулеполнойвероятностисобытиеАявляетсяследствиемодногоизсобытий

B_i(i1,n)^{.СобытияB}_i

обязательнодолжны

—являтьсяединственновозможнымиинезависимыми

—образовыватьполнуюгруппусобытий

—являтьсянесовместнымииравновозможными

—являтьсянесовместнымиинезависимыми

ВформулеБейесасобытиеАявляетсяследствиемодногоизсобытий

B_i(i1,n)^.

i

События_B

обязательнодолжны

—являтьсяединственновозможнымиинезависимыми

—образовыватьполнуюгруппусобытий

—являтьсянесовместнымииравновозможными

—являтьсянесовместнымиинезависимыми

Событияобразуютполнуюгруппусобытий,еслиявляются

—независимыми

—единственновозможнымиинезависимыми

—несовместнымииединственновозможными

—несовместнымииравновозможными

Обязательнымусловиемпримененияформулы

—независимостьсобытияАиВ

—событияАиВединственновозможны

—событияАиВпротивоположны

—совместностьсобытийАиВ

P(AB)P(A)P(B)P(AB)

является

Обязательнымусловиемпримененияформулы

—независимостьсобытияАиВ

—несовместностьсобытийАиВ

—событияАиВединственновозможны

—совместностьсобытийАиВ

Обязательнымусловиемпримененияформулы

—противоположностьсобытийАиВ

—независимостьсобытийАиВ

—несовместностьсобытийАиВ

—зависимостьсобытийАиВ

P(AB)P(A)P(B)^{является}

P(AB)P(A)P(B)^{является}

Двасобытияназываютсяпротивоположными,еслиони

—независимы

—несовместны

—единственновозможны

—образуютполнуюгруппусобытий

СуммойсобытийАиВназываетсясобытиеС,котороепроисходит,еслипроисходят

—толькособытиеА

—толькособытиеВ

—одноизсобытийАилиВ

—обасобытияАиВ

ПроизведениемсобытийАиВназываетсясобытиеС,котороепроисходит,еслипроисходит

—толькособытиеА

—толькособытиеВ

—одноизсобытийАилиВ

—обасобытияАиВ

P(A/B)

это

—вероятностьсобытияАприусловии,чтоАиВпротивоположныесобытия

—вероятностьсобытияАприусловии,чтоАиВнесовместныесобытия

—вероятностьсобытияАприусловии,чтособытиеВпроизошло

—произведениесобытийАиВ

Пусть

_{P(Ai)p(i1,n).}Вероятностьпоявленияхотябыодногоизсобытий

A_iравна

^—1pⁿ

^—1qⁿ

• p^nqⁿ

^—1p^nqn

ЕслинекоторыйобъектАможетбытьвыбранmспособами,послечегообъектВ

можетбытьвыбранnспособами,точисловариантоввыборапарыАиВравно

• mn

—mn

• mn

• mn(mn)

ЕслинекоторыйобъектАможновыбратьmспособами,аобъектВnспособами,точисловариантовотбораилиА,илиВравно

—mn

• mn

• nm

• mn(mn)

Формулаполнойвероятностиимеетвид

• 

  P(A)nP(B)P(A/B)

i i

i1

n

i

^{—P(A)}^P(B)

i1

•  _i

  P(A)n(A/B)

i1

n

i

^{—P(A)P(A)}^P(B)

i1

Вероятностьневозможногособытияравна

—1

—2

—0

—4

Вероятностьдостоверногособытияравна

—2

—4

—0

—1

Вероятностьpлюбогособытияпринадлежитотрезку

^—1;2

^—0;2

^—1;4

^—0;1

Суммавероятностейсобытий,образующихполнуюгруппу,равна

—0

—1/2

—1

—4

Достовернымназываетсясобытие,которое

—можетпроизойти,аможетнепроизойти

—никогданепроизойдет

—обязательнопроизойдет

—происходиттрираза

Невозможнымназываетсясобытие,которое

—можетпроизойти,аможетнепроизойти

—никогданепроизойдет

—обязательнопроизойдет

—происходиттрираза

Произведеноnиспытаний.СобытиеАпроизошлоmраз.ОтносительнаячастотасобытияАравна

^—W(A)ⁿ

m

^—W(A)1^m

n

^—W(A)^m

n

^—W(A)mn

СлучайнымназываетсясобытиеА,которое

—можетпроизойти,аможетнепроизойти

—никогданепроизойдет

—обязательнопроизойдет

—произойдеттолькосовместноссобытиемA

СобытияАиВназываютсязависимыми,если

—суммаихвероятностейобязательноравна1

—вероятностисобытийАиВнезависятдруготдруга

—вероятностьнаступленияодногоизсобытийзависитотпоявленияилинепоявлениядругого

—онипроисходятодновременно

СобытияАиВназываютсянесовместными,если

—вероятностьнаступленияодногоизсобытийзависитотпоявленияилинепоявлениядругого

—появлениеодногоизнихисключаетпоявлениедругого

—суммаихвероятностейникогданеравна1

—еслиодновременноонимогутпоявитьсятолькоконечноечислораз

ЕсливероятностьсобытияАравна0,7,то

—0,8

—0,5

—0,4

—0,3

P(A)

Событияназываютсяединственновозможными,еслиони

—независимы

—несовместны

—достоверны

—одноизнихобязательнопроисходит

Полнаягруппасобытийназываетсяпространствомэлементарныхсобытий,еслисобытия

—независимы

—единственновозможны

—равновозможны

—попарнопротивоположны

РассматриваетсяпространствоизNэлементарныхсобытий.СобытиюАблагоприятствуютMэлементарныхсобытий.КлассическаявероятностьсобытияАравна

• N

M

—1^N

M

• M

N

—1^N

M

Рассматриваетсяпространствоэлементарныхсобытий.НекотороеэлементарноесобытиеблагоприятствуетсобытиюА,если

—онинесовместны

—онипротивоположны

—онинезависимы

—А−следствиеэтогоэлементарногособытия

ЕсливероятностьсобытияАравнанулю,тоононазывается

—достоверным

—случайным

—произвольным

—невозможным

ЕсливероятностьсобытияАравна1,тоононазывается

—произвольным

—достоверным

—невозможным

—случайным

Какаяпарасобытийсостоитизпротивоположныхсобытий

—день,ночь

—попадание,промах

—черное,белое

—большой,маленький

Если

0P(A)1,тособытиеАявляется

—невозможным

—достоверным

—единственновозможным

—случайным

Уровнемзначимостиназывается

—значительнаявероятность

—вероятностьблизкаяк1

—вероятность,близкаяк0

—значительныйуровеньсобытия

Наскладпоступаетпродукциятрехцехов.Долицеховсоответственноравны:

1)30%;2)50%;3)20%.Процентбракавпродукциипервогоцеха4%,второгоцеха6%,третьего–8%.Полнаявероятностьтого,чтослучайновзятоенаскладеизделие–бракованное,равна

—0,025

—0,058

—0,03

—0,045

Вероятностьтого,чторазмеризделиянесоответствуетстандарту,равна0,7.Вероятностьтого,чтовесизделиянесоответствуетстандарту,равна0,6.Вероятность,чтоизделиенестандартно,равна

—0,8

—0,62

—0,88

—0,53

Вероятностьтого,чтостудентИвановсдастсессиюна«отлично»,равна0,7.Вероятность,чтостудентПетровсдастсессиюна«отлично»,равна0,6.Вероятность,чтообастудентастанутотличниками,равна

—0,51

—0,42

—0,24

—0,31

Вероятностьтого,чтопервыйстрелокпоразитмишень,равна0,6,второй0,5.Вероятность,чтохотябыодинизстрелковпоразитмишень,равна

—0,4

—0,8

—0,7

—0,5

P(A)0,8.

—0,7

—0,4

—0,2

—0,5

P(A)

равна

Вероятностьнаступлениякаждогоизтрехсобытийp=0,8.Вероятностьнаступленияхотябыодногоизнихравна

—0,995

—0,992

—0,904

—0,97

Вформулеполнойвероятности

—зависимы

—равновозможны

n

^P(A)^P(B_i^)P(A/B_i⁾

i1

гипотезыB_i

—образуютполнуюгруппусобытий

—достоверные

Вероятностьизвлечьспелыйпомидоризкорзиныравна0,3.Вероятность,чтоиздвухизвлеченныхпомидоровхотябыодинспелый,равна

—0,7

—0,51

—0,6

—0,09

Вформулеполнойвероятности

—1/n

—0

—0,7

—1

n

^P(A)^P(B_i^)P(A/B_i⁾

i1

сумма

^PB_i^{равна}

n

i1

Системаконтроляизделийсостоитиздвухнезависимыхпроверок.Вероятностьнепройтипервуюпроверкуравна0,4,вероятностьнепройтивторую0,8.Вероятность,чтоизделиенепройдетсистемуконтроля,равна

—0,88

—0,32

—0,12

—0,4

Системаконтроляизделийсостоитиздвухнезависимыхпроверок.Вероятность,чтоизделиепройдетпервуюпроверку,равна0,6,вероятность,чтоизделиепройдетвторую–0,7.Вероятность,чтоизделиепройдетсистемуконтроля,равна

—0,51

—0,73

—0,42

—0,24

Трицехаработаютнаобщийсклад.(Наскладпоступаетпродукциятолькоизэтихцехов).Доляизделийпервогоцехаравна1/3,второгоцеха–1/4,третьегоцеха5/12.Долябракасредиизделийпервогоцехаравна4%,второго–7%,третьего–3%.Вероятностьбраканаскладеравна

—5%

—8,5%

—4,3%

—3%

Вкорзине5красныхи8зеленыхяблок.Извлекаетсяоднояблокоисъедается.Вероятностьвторойразизвлечькрасноеяблоко,есливпервыйразизвлеченокрасное,равна

• 7

8

• 1

3

• 5

8

_—4

13

Вкорзине3сладкихи5кислыхяблок.Извлекаетсяоднояблокоисъедается.Затемизвлекаетсявтороеяблоко.Вероятность,чтопервыйразизвлеченокислоеяблоко,авторойраз–сладкоеравна

_—15

64

_—15

56

_—8

15

• 3

5

Вгруппе20студентов.Изних8девушеки12юношей.Преподавательпроводитопрос.Опрошенныйстудентбольшеневызывается.Вероятность,чтопервыйразбудетвызванадевушка,авторой–юноша,равна

• 2

3

• 3

5

_—24

95

_—12

25

Вероятностьнаступлениякаждогоиздвухсобытийравнанаступленияхотябыодногоизнихравна

—0,52

p0,6.Вероятность

—0,84

—0,83

—0,36

Вурне10шаров.Изнихдвачерных,аостальныебелые.Наудачувзято2шара.Вероятность,чтоониобачерныеравна

• 2

3

• 4

7

• 1

45

_—1

15

Брошены2игральныекости.Вероятность,чтосуммаочковравна7,есть

_—5

36

_—7

36

• 1

9

• 1

6

ОсеньювречнойпортКазаниприходятпассажирскиесудатолькоизтрехгородов:НижнегоНовгорода,МосквыиСамары.ВероятностьприбытияизМосквыравна0,1,изНижнегоНовгорода0,6.ВероятностьприбытияизСамарыравна

—0,2

—0,5

—0,4

—0,3

Вероятность,чтомеханикнайдетнеисправностьвдвигателесамолета,равна0,6.Вероятность,чтомеханикнайдетнеполадкившасси,равна0,7.Вероятность,чтосамолетнегоденкэксплуатации,равна

—0,58

—0,42

—0,88

—0,12

Вероятностьнаступленияхотябыодногоизтрехнезависимыхравновероятныхсобытийравна0,936.Вероятностьнаступлениякаждогособытияравна

—0,4

—0,6

—0,064

—0,978

Бросаютсяпоодномуразумонетаиигральнаякость.Вероятностьтого,чтовыпадетгербинечетнаяцифра,равна

—1

—1/12

—1/4

—2/3

Вероятностьнаступленияхотябыодногоизчетырехнезависимыхравновероятныхсобытийравна0,7599.Вероятностьнаступлениякаждогособытияравна

—0,93

—0,7

—0,3

—0,24

ЕслисобытияАиВзависимы,товероятностьсобытияАприусловии,чтособытиеВнаступило,равна

—

—

—

—

ЕслисобытияАиВзависимы,товероятностьсобытияВприусловии,чтособытиеАнаступило,равна

—

—

—

—

Вероятностьхотябыодногопопаданиябаскетболистомпридвухброскахвкорзинуравна0,91.Вероятностьпопаданиявкорзинуприодномброскеравна

—0,3

—0,6

—0,7

—0,4

Впенале6шариковыхи4гелевыеручки.Однузадругойвынимают2ручки.Вероятностьтого,чтооднаручкаокажетсяшариковой,адругая–гелевой,равна

—0,7777

—0,6667

—0,2667

—0,5333

Впенале7гелевыхи13шариковыхручек.Наугадвынимаютоднуручкуи,невозвращаяееобратно,вынимаютещеоднуручку.Вероятностьтого,чтооберучкигелевые,равна

—0,1105

—0,1050

—0,1125

—0,1289

Впенале12шариковыхи8гелевыхручек.Однузадругойвынимают2ручки.Вероятностьтого,чтоперваяручкаокажетсяшариковой,авторая–гелевой,равна

—0,3789

—0,2526

—0,2400

—0,3300

Вкорзине8сладкихи14кислыхяблок.Однозадругимизвлекаютпоодномуяблоку.Вероятностьвовторойразизвлечьсладкоеяблокоравна

—0,1212

—0,3182

—0,1322

—0,3636

Двабаскетболиставыполняютпоодномуброскувкорзину.Вероятностьпопаданиядляодногобаскетболистаравна0,7,адлядругого–0,8.Вероятностьпопаданиятолькооднимизбаскетболистовравна

—0,56

—0,38

—1,5

—0,94

Двабаскетболиставыполняютпоодномуброскувкорзину.Вероятностьпопаданиядляодногобаскетболистаравна0,8,длядругого–0,9.Вероятностьтого,чтопопадетхотябыодинизбаскетболистов,равна

—0,98

—0,26

—0,72

—0,28

Вкоробке12шариковыхи8гелевыхручек.Однузадругойизвлекают2ручки.Вероятностьвовторойразизвлечьшариковуюручкуравна

—0,3474

—0,33

—0,6

—0,2526