17. Линейные уравнения и системы…..

Лин. д.у.n-го порядка наз. ур-ние вида , где . Если правая часть , то ур-ние наз. однородным. Лин. д.у. в канонической форме: (1) или ,где -значение лин. диф. оператора n-го порядка на мн-ве n раз непрер. дифференц. на I ф-ций Если на коэфф. и правая часть (1) непрерывные, то на всем интервале сущ. единств. р-ние этого ур-ния, которое удовл. нач.условиям .

Лин. однор. ур-ние n-го порядка (2),где непрер. на ф-ции, имеет след. св-ва:1)Если - р-ния (2), то и любая их лин. комбинация ( ) явл. р-нием(2). 2) Если комплекснозначная ф-ция ,где -действит.ф-ции от действ. переем. t, а -р-ние (2), действит.часть этого р-ния и мнимая часть по отдельности р-ния (2).

Любая с-ма из n лин. независ.р-ний на I лин. однор. ур-ния (2) наз. фундоментальной с-мой р-ний ур-ния (2) на I . Ф-ции наз. лин. независ. на I , если рав-во , выполняется если все .Общее р-ние (2) имеет вид , где , , а -фунд. с-ма р-ний ур-ния(2).

Общее р-ние лин.неоднор.ур-ния (1) ,где ф-ции ( ) , ( )непрер. на находится по формуле (3),где -частное р-ние неадн. ур-ния(1), - общее р-ние однор. ур-ния. Если известна фунд. с-ма р-ний однор. ур-ния (2), то общее р-ние неаднар. ур-ния (1) можно найти с помощью метода вариации (Лагранжа).

Лин. однор. ур-ниям с пост. коэф. Будем рассм. лин. однор. ур-ние (4), пост. действ. числа.Чтобы решить(4) нужно составить хар-кое ур-ние и найти все его корни. Каждому действительному корню кратности хар-го ур-ния (5) соотв. лин. независ. реш-ий ур-ия (4) , а каждой паре компл корней кратности соответствует пар лин. независ. реш-ий: . Сл-но, если (5) имеет действ. корней кратностей и пар комплексных корней кратностей ( ), то общее р-ние ур-ния (4) запишется в виде +…

+ ,где -полином степени , а -полиномы степени .

Лин. неоднор. ур-нием с пост. коэф. наз. ур-ние вида (6), где непрер. на ф-ция, . Согласно(3) общее р-ние (6) имеет вид где -частное р-ние ур-ния(6), - общее р-ние соотв. однор. ур-ния. Метод нахождения описан выше, а для нахождения можно использовать метод вариации.С-мы лин.д.у.

Нормальной лин. однор. с-мой д.у. наз. с-ма , (7) или в матричном виде ,где -вектор-столбец, -квадратная м-ца .

Если непрер. на ф-ции, то (7) на этом интервале будет иметь единст. р-ние, кот. удовл. нач. условиям где -произвольные числа,а .

Совокупность лин. независ. на р-ний с-мы (7) наз. фунд. с-мой р-ний или базисом р-ний. Матрицу столбцами которой явл. р-ния. назыв. фунд. матрицой. С-ма р-ний явл. фундам. т. и т. т. если определитель в . С-ма (7) имеет ровно лин. независ. р-ний и ее общее р-ние имеет вид , -произвольные постоянные.

Рассм. с-му (8), где , - постоянная матрица. Согласно с методом Эйлера р-ние ищем в виде (9). Ф-ция (9) явл. р-нием с-мы(8), если собственное знач. м-цы , а - собственный вектор этой м-цы, кот. соотв. числу . Т.о. числа находятся из хар-кого ур-ния (10), а вектор из с-мы . Если действит. и разные, то общее р-ние (8) опред. формулой . Пусть корни хар-го ур-ния все разные, но среди них есть комплексный , тогда корнем хар-го ур-ния (10) явл. также сопряженный . Вместо комплексныч частных р-ний и нужно взять действ. частные р-ния и . Если среди корней хар-го ур-ния (10) есть кратные, н-р, - хар-кое число кратности , ему соотв. р-ния вида , где полиномы степени не большей .

Лиин. неоднор. с-мой наз.с-ма вида , Общее р-ние лин. неоднор. с-мы есть сумма общего р-ния соотв-щей ей однор. с-мы и кокого-нибудь частного р-ния неоднор. с-мы. С-му можно решать путем приведения ее к одному ур-нию - го порядка методом исключения или методом вариации.