Плоска умовна система координат. Зональна система плоских прямокутних координат Гаусса-Крюгера. Система плоских полярних координат.
При створені планів місцевості важливе значення має вибір напряму осей системи прямокутних координат і точки початку відліку координат. В принципі, для кожної невеликої ділянки можна вибрати свою систему координат і скласти план в такій "місцевій" систем. Однак при цьому не можна буде порівняти або об'єднати плани навіть двох сусідніх ділянок, якщо кожна з них буде складена в своїй умовній системі координат.
Тому, як правило, необхідна єдина система координат, яка дозволить об’єднати матеріали зйомок, виконаних на поверхні Землі. Введення єдиної системи координат для всієї земної кулі або держави має велике значення. В цьому випадку забезпечується можливість загального картографування країни, коли кожний план стає частиною загальної карти держави.
Поверхня еліпсоїда не може бути розгорнена на площину без спотворень. У зв'язку з цим проектування точок поверхні на площину виконується за певними математичними законами. В загальному вигляді вираз закону проектування можна зобразити за такими залежностями:
(1.6)
Ці
формули означають, що кожній точці на
еліпсоїді, яка має геодезичні координати
В
і
L,
відповідають плоскі прямокутні координати
х,
у, як
функції координат В
і
L
точок поверхні еліпсоїда на площині.
Вибираючи під різними умовами вид
функцій
,
одержують різні проекції.
В геодезичній практиці виявилось найзручніше використовувати рівнокутні (конформні) проекції. В таких проекціях зберігається рівність кутів при переході з поверхні еліпсоїда на площину.
При використанні проекції Гаусса-Крюгера поверхня еліпсоїда поділяється меридіанними площинами на зони (рис. 1.8).
Рисунок 1.8 - Поділ поверхні еліпсоїда на координатні зони
В Україні ширина зон по довготі встановлена в 6°, а в районах, де проводяться топографічні зйомки в великому масштабі, - в 3°. Середній меридіан зони називається осьовим. Кожна з цих зон на площині утворює самостійну систему координат (рис. 1.9).
В результаті такого проектування отримають зображення поверхні земної кулі (еліпсоїда) в вигляді зон, які прилягають одна до одної на екваторі (рис. 1.10).
Рисунок 1.9 - Координатна зона:
а - на еліпсоїді; б - на площині
Осьовий меридіан кожної зони зображується на площині прямою лінією і приймається за вісь абсцис х. Екватор також зображається прямою лінією, перпендикулярною до осьового меридіана. Він приймається за вісь у. Вони і утворюють прямокутну систему координат зони. Таким чином, в геодезії, на відміну від математики, прийнята ліва система координат, в якій відлік чвертей ведеться за годинниковою стрілкою (рис. 1.9,б). Це дозволяє використовувати в геодезичних обчисленнях формули тригонометрії і без яких-небудь змін.
Рисунок
1.10 - Системи координат для окремих зон
Абсциси в системі координат Гаусса-Крюгера відраховуються від екватора на північ і південь; на північ від екватора абсциси додатні, а на південь – від’ємні. Ординати на схід від осьового меридіана мають знак плюс, на захід - мінус.
В північній півкулі, отже, на всій території нашої країни, абсциси завжди додатні. Ординати ж можуть бути як додатними (точка А, рис. 1.11,а ), так і від'ємними (точка B, рис. 1.11,a).
Щоб уникнути від'ємних значень ординат, початок координат переносять на 500 км на захід від осьового меридіана, як показано на рис. 1.11,b. Одержані таким чином ординати називають умовними і позначають у.
Умовні ординати обчислюють за формулою
(1.7)
Якщо yA=147,514 км, уB=-42,823 км, то yA =647,514 км, уB=457,177 км. При зворотному переході від наведених умовних ординат необхідно відняти 500 км.
Рисунок 1.11 - Умовні ординати у шестиградусних зонах
Для зручності визначення прямокутних координат при розв'язанні практичних задач на планах і картах нанесена координатна сітка (рис. 1.10 та 1.11), яка являє собою систему взаємно перпендикулярних ліній, проведених через певні відстані паралельно осьовому меридіану зони (вісь х) та екватору (вісь y;).
Якщо задані плоскі прямокутні координати х і у деякої точки А, то цього недостатньо для однозначного визначення положення точки, тому що точка з такими координатами є в кожній зоні. Отже, необхідно вказувати ще й номер зони, в якій розміщена точка. Він указується перед кожною ординатою. Наприклад, точка А знаходиться в 7-ій зоні, тоді її повна умовна наведена ордината уА =7647,514 км.
В нашій країні прийняті такі правила розбивки території на зони.
Для шестиградусних зон. Осьовий меридіан проходить посередині зони, і його довгота кратна 3°, але некратна 6°. Західний граничний меридіан першої шестиградусної зони співпадає з Гринвіцьким меридіаном (рис. 1.10). Для території України осьові меридіани мають довготи: 21°, 27°, 33°, 39°.
Для обчислення довготи осьового меридіана шестиградусної зони L0,6 та номера зони N можна використати формули:
Для триградусних зон. Осьовий меридіан триградусної зони кратний 3° (24°, 27°, 30°, і т.д.). Осьові меридіани першої триградусної і першої шестиградусної зон співпадають. Тому для знаходження довготи осьового меридіана триградусної зони використовується формула:
де п - номер 3-градусної зони.
В триградусних зонах до ординат не добавляють 500 км і спереду не приписують номер зони.
По мірі віддалення точок від осьового меридіана зони ростуть спотворення довжин ліній, досягаючи максимальної величини на межі координатної зони. їх величина Δs визначається за формулою:
де S - довжина на площини проекції;
s - довжина відповідної лінії до еліпсоїда
у - середня ордината лінії;
R - середній радіус земної кулі (R = 6371 км).
При максимальному значенні утах = 334 км відносне спотворення довжин ліній при проектуванні на площину складає 1:745. Для нашої країни, розташованої північніше паралелі з широтою 44° максимальна ордината дорівнює приблизив 236 км, а максимально спотворення лінії на краю 6-градусної зони складає близько 1:1100. Це знаходиться в межах точності похибок графічної побудови карт масштабів 1:10 000 і дрібніше.
В 3-градусніЙ зоні максимальні спотворення в 4 рази менші, ніж в 6-градусній зоні. Тому при зйомках в масштабах і:5000 и крупніше координати обчислюють в 3-градусних зонах.