2. Код Хеммінга

Кодування по методу, запропонованому американським інженером Робертом Хеммінгом в 1948 р., дозволяє побудувати оптимальний систематичний код.

Оптимальним називається (n, m) код, який забезпечує мінімальну імовірність помилкового декодування серед усіх інших кодів з тими ж n і m.

Найвідоміші з кодів, що самоконтролюються і самокоректуються, – коди Хеммінга. Побудовані вони відносно двійкової системи числення.

Для побудови коду, що виявляє спотворення, достатньо мати один контрольний розряд (код з перевіркою на парність). Але при цьому не має ніяких указівок на те, в якому саме розряді відбулася помилка, і, отже, немає можливості виправити її. Залишаються непоміченими спотворення, що виникли в парному числі розрядів.

Коди Хеммінга мають більшу надмірність, ніж коди з перевіркою на парність, і призначені для виправлення одиночних помилок, або для виправлення одиночних і виявлення без виправлення подвійних помилок (зі збільшенням надмірності). У такому коді n-значне число має m інформаційних і k контрольних розрядів. Кожен з контрольних розрядів є ознакою парності для певної групи інформаційних знаків базового кодового слова. При декодуванні здійснюється k групових перевірок на парність і формується певне число – синдром спотворень S. У результаті кожної перевірки у відповідний розряд синдрому спотворень Sі записується 0, якщо перевірка була успішною, або 1, якщо була знайдена непарність.

Групи для перевірки утворюються так, що в регістрі спотворень після закінчення перевірки виходить k-розрядне двійкове число, що показує номер позиції помилкового двійкового розряду. Зміна цього розряду – виправлення спотворень.

Спочатку ці коди запропоновані у такому вигляді, при якому контрольні ознаки займають особливі позиції: позиція i-го знаку має номер 2ⁱ–1. При цьому кожен контрольний знак входить лише в одну перевірку на парність.

Розглянемо код Хеммінга, призначений для виправлення одиночних помилок.

Поодиноке спотворення можливе в одній з n позицій. Отже, кількість контрольних знаків, а значить, і кількість розрядів регістра помилок повинна задовольняти умову

k  ≥  log2 log2 (n  +  1).

(4.1)

Звідси

m  ≥  n – log2(n  +  1).

(4.2)

Значення m і k для деяких коротких кодів, обчислені по формулах (4.1) і (4.2) дані в табл. 4.1.

Таблиця 4.1

n	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
m	1	1	2	3	4	4	5	6	7	8
k	2	3	3	3	3	4	4	4	4	4

  Як перевірочні біти зручно вибрати такі, які входять тільки один раз у кожну перевірку, тобто такі, для яких S_i містить лише один ненульовий біт; очевидно, це S₁, S₂, S₄, S₈ і т.д.–ті біти, номери яких є цілим степенем 2 (див. рис. 4.1).

Рис. 4.1. Базове кодове слово для коду Хеммінга

Іншими словами в коді Хеммінга інформаційні і перевірочні біти не рознесені в окремі підматриці, а чергуються. При цьому береться така нумерація біт (знаків коду): усі біти кодової комбінації одержують номери, починаючи з 1, справа наліво (варто нагадати, що інформаційні біти нумеруються з 0 справа наліво); контрольними (перевірочними) є біти з номерами 1, 2, 4, 8 і т.д. – усі інші є інформаційними.

Щоб число в синдромі спотворень указувало номер позиції помилкового розряду, групи для перевірки вибираються за правилом:

I гр.:	:	усі непарні позиції, включаючи позиції контрольного розряду, тобто позиції, в першому молодшому розряді яких стоїть 1.
II гр.:	:	усі позиції, номери яких в двійковому поданні мають 1 у другому розряді справа (наприклад, 2, 3, 6, 7, 10) і т.д.
III гр.	:	розряди, що мають «1» у третьому розряді справа, і т.д.

Примітка 1. Кожен контрольний знак входить тільки до однієї групи, що перевіряється. У кожен з контрольних розрядів при побудові коду Хеммінга надсилається таке значення, щоб загальна кількість одиниць у його контрольній сумі була парною. Тобто, для (n, m) коду Хеммінга перевірочні символи визначаються із перевірочних рівнянь:

де: − перевірочні символи.

 При перевірці наявності спотворень за розглянутими вище правилами розраховуються так звані елементи синдрому спотворень Si. Але при розрахунку елементів синдрому спотворень використовуються і сформовані раніше перевірочні елементи. Тобто елементи синдрому визначаються з виразів (синдромних рівнянь):

Приклад 1. Хай k = 5 (табл. 4.2).

Формування контрольних груп. Таблиця 4.2

Номер перевірки	Позиція контрольного біта	Позиції, що перевіряються
1	1	1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ...
2	2	2, 3, 6, 7, 10, 11, ...
3	4	4, 5, 6, 7, 12, 13, ...
4	8	8, 9, 10, 11, 12, 13, ...
5	16	16, 17, 18, 19, 20, 21

  Приклад 2. Розглянемо семизначний код Хеммінга для зображення чисел від 0 до 9 (табл. 3).

Семизначний код Хеммінга. Таблиця 4.3

Десяткове	Простій двійковий				Код Хеммінга
число	код							k		k	k
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	0	0	1	0	0	0	0	1	1	1
2	0	0	1	0	0	0	1	1	0	0	1
3	0	0	1	1	0	0	1	1	1	1	0
4	0	1	0	0	0	1	0	1	0	1	0
5	0	1	0	1	0	1	0	1	1	0	1
6	0	1	1	0	0	1	1	0	0	1	1
7	0	1	1	1	0	1	1	0	1	0	0
8	1	0	0	0	1	0	0	1	0	1	1
9	1	0	0	1	1	0	0	1	1	0	0

Хай переданий код числа 6 у вигляді «0  1  1  0  0  1  1», а прийняли у вигляді «0  1  0  0  0  1  1».

Перевірочні групи при нумерації розрядів, починаючи з правого (молодшого):

I перевірка:	розряди 1, 3, 5, 7– 0  1  0  0  0  1  1 дає 1 у молодший розряд синдрому спотворень S1.
II перевірка:	розряди 2, 3, 6, 7– 0  1  0  0  0  1  1 дає 0 у другий розряд синдрому спотворень S2.
III перевірка:	розряди 4, 5, 6, 7– 0  1  0  0  0  1  1 дає 1 у третій розряд синдрому спотворень S3.

Вміст синдрому спотворень «101» свідчить про помилку у п’ятій позиції.

Той же алгоритм, але застосований при іншій нумерації розрядів, починаючи з лівого (молодшого):

I перевірка  :	розряди 1, 3, 5, 7– 0  1  0  0  0  1  1 дає 1 у молодший розряд синдрому спотворень S1.
II перевірка :	розряди 2, 3, 6, 7– 0  1  0  0  0  1  1 дає 1 у другий розряд синдрому спотворень S2.
III перевірка:	розряди 4, 5, 6, 7– 0  1  0  0  0  1  1 дає 0 у третій розряд синдрому спотворень S3.

Вміст синдрому спотворень «011» свідчить про помилку в третій позиції.

Перевірочні рівняння використовуються для побудови кодера, а синдромні − для побудови декодера коду Хеммінга.