Решение

Найдем середины интервала. Например середина интервала 10-20 равна 15 (10+((20-10)/2).

Уровень рентабельности, %	Середины интервалов
До 10	5
10–20	15
20–30	25
30–40	35
40 и выше	45

Расчет среднего, среднего квадратического отклонения и дисперсии

п/п	Середина интервала xi	Частота fi
1	5	5	25	23,3	116,5	542,89	2714,45
2	15	12	180	13,3	159,6	176,89	2122,68
3	25	45	1125	3,3	148,5	10,89	490,05
4	35	21	735	6,7	140,7	44,89	942,69
5	45	17	765	16,7	283,9	278,89	4741,13
Сумма	125	100	2830	63,3	849,2	1054,45	11011

Среднюю величину рассчитаем по формуле средней арифметической взвешенной:

где x_i - значение усредняемого признака,

f_i - частота.

Дисперсия, равная среднему квадрату отклонений индивидуальных значений признака от их средней величины:

Среднее квадратическое отклонение, характеризующее величину, на которую все варианты в среднем отклоняются от средней арифметической. Равно корню квадратному из суммы квадратов отклонений индивидуальных значений признака от их средней, т.е. из дисперсии:

Предельную ошибку выборки рассчитаем по формуле:

где t – нормированное отклонение, зависящее от вероятности (для вероятности 0,954 t=2)

σ² – дисперсия выборочной совокупности,

n – объем выборки,

N – объем генеральной совокупности.

Следовательно, с вероятностью 0,954 можно утверждать, что разность между выборочными и генеральными показателями не превысит 1,93%.

С помощью предельной ошибки выборки определим границы для среднего значения:

Таким образом, с вероятностью 0,954 можно ожидать, что средний уровень рентабельности предприятий отрасли будет в пределах от 26,37 до 30,23.

2) Определим выборочную долю предприятий с уровнем рентабельности 40% и выше. Из таблицы, получим m = 17. Для вероятности 0,954 t=2.

Выборочная доля равна:

w = m / n =17/100 = 0,17

Определим среднюю ошибку выборки для выборочной доли:

Тогда доверительный интервал для ожидаемой доли предприятий с уровнем рентабельности 40% и выше определяется:

Таким образом, ожидаемая доля предприятий с уровнем рентабельности 40% и выше находится в пределах (границах) от 0,101 до 0,239.

Задание 2

На основе приведенных данных по 20 предприятиям машиностроительной отрасли выполните группировку по численности работающих, выделив 3 группы с равновеликими интервалами.

По каждой группе и по их совокупности подсчитайте:

1. число предприятий;

2. численность работающих всего и в среднем на одно предприятие;

3. объем продукции всего и в среднем на одно предприятие;

4. производительность труда.

Результаты расчетов представьте в виде групповой таблицы. Сформулируйте выводы.

№ предприятия	Численность работающих, человек	Объем продукции, млн.руб.
1	350	4526
2	120	2568
3	200	3265
4	220	3500
5	250	3910
6	300	4520
7	370	4920
8	365	4820
9	430	5654
10	305	4878
11	180	2569
12	230	3354
13	360	4680
14	480	5600
15	195	3200
16	520	6055
17	185	2897
18	600	6958
19	287	3695
20	365	4587

Рассчитаем величину интервала по формуле

,

где x_max - наибольшее значение варьирующего признака,

x_min - наименьшее значение признака,

n - число групп.

Сведем все данные в результирующую таблицу.

№	Группа	Кол-во пред-ий	Числен-ность рабо-тающих, человек	Объем продукции, млн.руб.	Числен-ность рабо-тающих (ср), человек	Объем продук-ции (ср), млн.руб.	Произво-дительность труда, млн.руб. на человека
1	120-280	8	1580	25263	197,50	3 157,88	15,99
2	280-440	9	3132	42280	348,00	4 697,78	13,50
3	440 -600	3	1600	18613	533,33	6 204,33	11,63
Итого		20	6312	86156	315,60	4 307,80	13,65

Следует отметить, что большая выработка приходится на предприятия, в которых работает от 120 до 280 человек.