33. Частица в одномерной прямоугольной потенциальной яме. Квантование состояний.
П
ространственно
ограниченное квантовое движение-
одномерное движение чатицы, находящейся
в силовом поле, энергия взаимодействия
с которым имеет вид бесконечно глубокой
потенциальной ямы с вертикальными
стенками. Находясь внутри ямы, частица
движется свободно на участке
,
а на краях силовое поле возвращает ее
обратно в яму.
Потенциальная
яма, где
- ширина ямы, а энергия отсчитывается
от ее дна. Никакая частица не может выйти
из этой ямы. Если частица классическая
,
то на участке
она движется с неизменным импульсом и
энергией. Достигая стенок ямы, частица
испытывает упругий удар и меняет
направление на противоположное. Частота
таких колебаний частицы зависит от
скорости частицы и ширины ямы
.
В зависимости от скорости, если
1)
,
то положим равной 0; 2)
:
частица движется между стенками, и
график плотности распределения
вероятности будет выглядеть в виде
прямой (см. рисунок).
Для
реальной частицы: запишем уравнение
Шредингера, учитывая что внутри ямы
U=0:
.
За пределы ямы частица не проникает,
поэтому волновая функция вне ямы равна
0, следовательно, на границах ямы
.
С учетом граничных условий волновая
функция должна представлять собой
стоячую волну. Решение ищем в виде
.
.
.
По второму граничному условию:
.
,
где n
- квантовое число. Для определения const
C
используем условие нормировки:
,
т. к. вероятность обнаружения частицы
внутри ямы равна 1, следовательно
.
Как видно, волновые функции обращаются
в ноль на границах ямы. Внутри ямы они
представляют собой отрезки синусоиды.
Основное условие, котрое должно
выполняться,- на ширине ямы должно
укладываться целое количество
для каждой синусоиды. Количество этих
половинок определяется значением
целого числа n.
Анализ графиков
показывает, что вероятность нахождения
квантовой частицы в потенциальной яме
зависит от координаты x.
Так в случае n=1
наибольшая вероятность существует для
центра ямы и т.д. Получили, что если у
классической частицы плотность
вероятности внутри потенциальной ямы
всюду одинакова, то у квантовой частицы
она является функцией координат.
Рассмотрим Е:
из граничных условий
,
то
,
где
,
т. е. есть множество значений энергии,
которые частица не принимает. Таким
образом, энергия дискретна, т. е.
квантована. Чем меньше
,
тем выше
;
состояния частицы дискретны. Энергия
пробегает ряд значений, не равных 0.
Разрешенные энергии частицы называются
энергетическими уровнями, они появляются,
если частица ограничена в пространстве.
Разность энергий двух соседних уровней
.
С увеличением n
соседние уровни удаляются друг от друга.
Величина энергетического зазора между
уровнями зависит также от массы частицы
m
и ширины ямы l.
Чем меньше эти величины, тем больше
расстояние между уровнями. С увеличением
ширины ямы или массы частицы уровни
сгущаются и их дискретность все менее
заметна. В пределе беск широкой ямы или
частицы с беск большой массы получаем
классический непрерывный спектр энергии.
Изобразим
волновую функцию на фоне уравнений при
.
-
основное состояние (основной энергетический
уровень).
У
классической частицы этот график
выглядит в виде прямой, параллельной
оси Ох. Минимальное значение энергии
.
Состояние частицы с такой энергией
называется основным состоянием. То, что
квантовая частица не может иметь энергию,
равную нулю согласуется с принципом
неопределенности. Волновая функция и
энергия состояния квантовой частицы в
потенциальной яме однозначно определяются
величиной целого числа n,
которое определяется квантовым числом
системы.