14. Гармонические колебания и формы их представления. Сложение гармонических колебаний. Биения, фигуры Лиссажу.

Гармонические колебания

В общем случае состояние системы изменяется. Если в изменение обнаруживается повторяемость, то в системе происходят колебания. Если колебания повторяются через строго определенный промежуток времени, то такое колебание периодическое, а сам промежуток – это период Т. Колебания, происходящие по закону Sin или Cos называются гармоническими.

Причины гармонических колебаний:

1. Многие колебания во многих системах близки к гармоническим.

2. Любое произвольное колебание можно представить в виде суммы гармонических колебаний.

Характеристики и способы представления гармонических колебаний

1. Аналитическое:

2. Графическое:

x – смещение;

A - амплитуда (максимальное значение x);

- фаза; - начальная фаза, при t = 0, зависит от состояния система и времени;

- скорость изменения фазы с течением времени, циклическая частота;

3. Векторное:

Применяется для сложных колебаний. Угловая скорость – циклическая частота.

4. Комплексное:

5. Показательное:

Сложение колебаний

1. Сложение однонаправленных колебаний с одинаковыми частотами:

Пусть система принимает участие в двух однонаправленных колебаниях с одной .

Сколько бы гармонических колебаний ни складывалось, получаем гармоническое колебание с такой же частотой, но у него своя амплитуда, которая зависит от амплитуды складываемых колебаний и от начальных фаз.

2. Сложение однонаправленных колебаний с разными частотами. Биения.

Результирующее x – это быстрое колебание с медленно изменяющейся амплитудой.

Если амплитуды разные, то нулевой амплитуды не получится. Если складываются колебания с разными частотами, то получаются не гармонические колебания.

Сложение взаимно перпендикулярных колебаний

Разные

Результирующее движение в общем случае сложное. Траектория может получиться не замкнутой. Замкнутая, если - кратны друг другу или частоты относятся, как целые числа, , тогда получится фигура Лиссажу.

Пример:

В общем случае фигура Лиссажу пересекает целое число раз каждую ось. Тогда частоты колебаний относятся между собой так, как относятся обратные числа:

15. Гармонический осциллятор. Энергия гармонического осциллятора.

Гармонические осцилляторы.

Среди любых систем можно выделить колебательную систему или осциллятор.

Такая система может совершать колебания сама по себе, те за счет внутренних причин, если у нее есть энергия. Если собственные колебания системы являются гармоническими то система- осциллятор.

Динамика гармонических колебаний описывается дифуром:

(1)

Если для системы получается уравнение (1) то система – гармонический осциллятор.

- собственная частота.

Дифференциальное уравнение гармонического осциллятора.

=> - решение этого уравнения есть функции вида

, .

Пример 1 (Пружинный маятник.)

- дифференциальное уравнение гармонического осциллятора.

Решением дифференциального уравнения будет .

Величина собственной частоты зависит от свойств системы.

Причин колебаний 2:

1. возвращающая сила.

2. инертность.

3 свойства осциллятора:

1. Начальное положение.

2. Возвращающая сила.

3. Инертность.

Пример 2 (Физический маятник).

Р авновесие когда

Если угол мал то:

- собственная частота.

Пример 3 (Колебательный контур)

Сообщение заряда колебательному контуру выводит систему из положения равновесия.

- закон Кирхгофа.

=>

Возвращающие воздействие связанно с зарядом.

Энергия гармонического осциллятора.

Рассмотренные в примерах осцилляторы являются консервативными системами. Энергия с течением времени не меняется.

Пример 1.

=>

продифференцируем по x и получим .

Причины, по которым получается именно это уравнение:

1) система консервативна.

2) Энергия – квадратичная форма от смещения и скорости.

Для колебательного контура: