Тема 5. Закон больших чисел и предельные теоремы

Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли. Лемма Маркова. Теорема Пуассона. Центральная предельная теорема Ляпунова.

Сначала изучите материал, изложенный в главе 5 [1]. Затем ответьте на вопросы и выполните задания для самопроверки. Внимательно разберите решения приведенных примеров. Решите задачи для самостоятельного решения.

При изучении материала обратите особое внимание на следующее.

1. Как известно, основной характеристикой степени разброса значений случайной величины является дисперсия. Из смысла этой числовой характеристики следует, что вероятность зафиксировать при наблюдении случайной величины Х значение, отклоняющееся от математического ожидания не менее, чем на величину , должна расти с ростом дисперсии .

Зная плотность вероятности p(x), можно точно вычислить вероятность событий вида . Однако хотелось бы уметь оценивать вероятности этих событий, опираясь только на значение величины дисперсии , не обращаясь к точному знанию закона распределения случайной величины.

Именно это задача и решается с помощью неравенства, выведенного русским математиком П. Л. Чебышевым в 1867 году.

2. Неравенство Чебышева по второй форме записи читается так: вероятность того, что абсолютное отклонение значений случайной величины от ее математического ожидания превысит или будет равно , меньше или равно . Как видно, оно позволяет оценить сверху вероятность отклонения случайной величины от ее математического ожидания на основе информации о ее дисперсии.

Неравенство Чебышева справедливо для любой случайной величины, имеющей конечную дисперсию.

3. Как и всякий общий результат, не использующий сведения о конкретном распределении случайной величины, неравенство Чебышева дает лишь грубые оценки сверху для вероятности событий .

Иногда неравенство Чебышева дает тривиальную оценку, не представляющую интереса. Пусть, например, . Тогда

Получена заведомо известная оценка вероятности, так как вероятность любого события всегда меньше единицы.

Содержательный смысл неравенство Чербышева имеет место лишь при

4. Теорема Чербышева позволяет, используя среднее арифметическое результатов наблюдений случайной величины, получить представление о величине ее математического ожидания. Так, измеряя какой-либо параметр с помощью прибора, не имеющего систематической погрешности, можно получить достаточно большое число результатов измерений, среднее арифметическое которых будет практически мало отличаться от значения измеряемого параметра.

5. Теорема Бернулли является частным случаем теоремы Чебышева.

6. Лемма Маркова справедлива только для случайных величин, принимающих положительные значения.

7. Теорема Пуассона имеет большое практическое значение, так как обычно условия испытаний бывают непостоянны и вероятность появления интересующего события является переменной величиной. Частость m/n появления события в реальных условиях приближается к некоторой средней вероятности этого события, характерной для данной группы условий.

Теорема Пуассона представляет собой исторически первое обобщение частного закона больших чисел (теоремы Бернулли).

8. Центральной предельной теоремой часто пользуются для установления закона распределения арифметического среднего результатов наблюдений, однако при этом необходима известная осторожность.

Во-первых, если предельный вид закона распределения суммы слагаемых при условиях теоремы всегда нормальный и не зависит от вида распределения самих слагаемых, то скорость сходимости распределения суммы к нормальному закону существенно зависит от закона распределения исходных слагаемых. Так, например, при суммировании равномерно распределенных случайных величин уже при 6-10 слагаемых можно добиться достаточной близости к нормальному закону, в то время как для достижения той же близости при суммировании слагаемых, имеющих распределение , понадобится более ста слагаемых.

Во-вторых, центральной предельной теоремой не рекомендуется пользоваться для аппроксимации распределения на «хвостах» распределения.

Вопросы и задания для самопроверки

1. Что понимается под «законом больших чисел»?

2. Прочтите неравенство Чебышева в первой форме записи.

3. В каких случаях неравенство Чебышева имеет содержательный смысл?

4. Что утверждает теорема Чебышева?

5. К каким случайным величинам применима лемма Маркова?

6. В чем состоит смысл центральной предельной теоремы?

Примеры решения задач

Пример 1. Дисперсия отдельного измерения какой-то величины не превосходит 3. Производится 1000 независимых измерений величины. Какие границы можно гарантировать с вероятностью 0,95 для среднего арифметического измерений?

Решение. По второй форме записи неравенства Чебышева для арифметического среднего имеем:

.

Отсюда .

Пример 2. По многолетним наблюдениям средняя скорость ветра в некотором пункте равна 16 км/ч. Оценить с помощью леммы Маркова вероятность того, что в случайный момент времени скорость ветра в этом пункте превысит 80 км/ч.

Решение. Обозначим через Х скорость ветра при наблюдении в случайной момент времени. Эта случайная величина принимает только положительные значения. Тогда:

Задачи для самостоятельного решения

Задача 1. Пусть Х – время опоздания студента на лекцию, причем известно, что . Оценить вероятность того, что студент опоздает не менее, чем на 5 мин.

Ответ: не более 0,2.

Задача 2. Суточный расход электроэнергии для личных нужд в населенном пункте составляет в среднем 4000 кВт∙ч. Оценить вероятность того, что в ближайшие сутки расход электроэнергии в этом населенном пункте не превысит 10000 кВт∙ч.

Ответ: не меньше 0,6.