Тема 3. Основные законы распределения случайных величин
Биномиальное распределение. Распределение Пуассона. Экспоненциальное распределение. Равномерное распределение. Нормальное распределение.
Сначала изучите материал, изложенный в главе 3 [1]. Затем ответьте на вопросы и выполните задания для самопроверки. Внимательно разберите решение приведенных примеров.
При изучении материала обратите внимание на следующее.
1. Последовательность независимых испытаний по схеме Бернулли удовлетворяет следующим условиям:
1) при каждом
испытании различают лишь два исхода:
появление некоторого события А, либо
появление противоположного ему события
;
2) испытания являются независимыми, т. е. вероятность события А в n-ом испытании не зависит от исходов всех испытаний до n-го;
3) вероятность наступления события А во всех испытаниях постоянна и равна Р(А) = p. Вероятность события Р( ) = 1-р = q.
Приведем несколько примеров реальных испытаний, которые в той или иной степени «вписываются» в такую последовательность испытаний:
- последовательное подбрасывание N раз симметричной монеты (здесь событием А может являться появление «герба» с вероятностью р = 1/2) или последовательное бросание N раз игрального кубика (здесь событием А можно считать, например, появление шестерки с вероятностью р = 1/6). Эти две реальные схемы испытаний являются примером идеального соответствия схеме испытаний Бернулли;
- последовательность N выстрелов стрелка по мишени можно лишь приближенно рассматривать как схему испытаний Бернулли, так как независимость результатов стрельбы может нарушаться либо из-за «пристрелок» спортсмена, либо вследствие его утомляемости.
2. При N→∞ и Np = λ биномиальное распределение сходится к распределению Пуассона. Однако в ряде задач распределение Пуассона получается как точное. Общая схема формирования пуассоновской случайной величины - это число событий, наступающих за одинаковые промежутки времени, при этом наступление события в определенном промежутке времени не зависит от того, сколько раз и в какие моменты времени оно наступило в прошлом промежутке, и не влияет на наступление событий в последующие промежутки, а испытания проводятся в стационарном режиме.
3. Нормальное распределение - самое важное в теории и практике статистических исследований по нескольким причинам. Прежде всего, многие наблюдаемые случайные величины можно успешно описать нормальным распределением или, по крайней мере, нормальное распределение может стать первым приближением к их описанию. Не существует таких распределений, которые были бы в точности нормальными, поскольку значения, принимаемые нормальной случайной величиной, лежат в диапазоне от минус до плюс бесконечности.
Общий механизм формирования нормально распределенной случайной величины состоит в следующем. Значения случайной величины формируются под действием большого числа независимых случайных факторов, причем сила действия каждого фактора мала и не может превалировать среди остальных, а характер действия аддитивный, т. е. при воздействии случайного фактора на величину a получается величина a+∆, где остаток ∆ относительно мал и равновероятен по знаку.
4. Интеграл вероятности - это функция распределения нормированной нормально распределенной случайной величины. С его помощью можно находить вероятность попадания значений нормально распределенной случайной величины в заданный интервал. В качестве примера найдем вероятность попадания значений случайной величины с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией в интервал от -1 до 1.
По таблице1 приложения [1] находим что для z = 1 Ф(1) = 0,8413. Поскольку Ф(-z) = 1-Ф(z), то Ф(-1) = 0,1587. Отсюда
Р(-1≤X≤1) = Ф(1) - Ф(-1) = 0,8413 - 0,1587 = 0,6828.
5. По таблице интеграла вероятности можно также находить квантили стандартного нормального распределения. Для примера найдем квантиль порядка 0,95. Это значение вероятности нужно найти внутри таблицы, а затем определить, при каком z оно получается. В таблице точного значения 0,95 нет, есть близкие к нему 0,94950 и 0,95053, которые имеют место соответственно при z = 1,64 и z = 1,65. Путем интерполяции получим z0,95 = 1,645.
Вопросы и задания для самопроверки
1. Опишите последовательность испытаний по схеме Бернулли.
2. Запишите биномиальный закон распределения. Какими параметрами он описывается? Каков смысл этих параметров?
3. Чему равны математическое ожидание и дисперсия биномиального распределения?
4. Запишите закон распределения Пуассона. От какого параметра он зависит? Каков смысл этого параметра?
5. Постройте плотность вероятности экспоненциально распределенной случайной величины с математическим ожиданием равным единице.
6. Запишите выражение для плотности вероятности нормального распределения. Сколькими параметрами оно описывается? Какой смысл они имеют?
7. Какое распределение называется равномерным? Чему равен третий центральный момент этого распределения?
8. Какое распределение называется стандартным нормальным распределением?
9. Что представляет собой интеграл вероятности?
10. Используя таблицу интеграла вероятности, найдите вероятность того, что нормально распределенная случайная величина с математическим ожиданием 5 и дисперсией 4 будет принимать значения в интервале от 3 до 7.
11. Чему равен квантиль порядка 0,5 стандартного нормального распределения?
Примеры решения задач
Пример 1. Случайная величина Х имеет биномиальное распределение с параметрами N=3 p=0,3. Вычислить вероятность того, что случайная величина примет значение большее нуля.
Решение. Случайная величина может принимать значения 0, 1, 2 и 3. Вероятность Р(Х>0) равна сумме вероятностей Р(Х=1), Р(Х=2) и Р(Х=3). Однако, можно в данном случае поступить иначе - вычислить Р(Х=0), тогда Р(Х>0) =1 - Р(Х=0).
По формуле биномиального распределения находим:
,
откуда Р(Х>0) = 0,488.
Пример 2. Случайная величина Х имеет нормальный закон распределения с нулевым математическим ожиданием. Вероятность нахождения случайной величины в интервале (-0,3;0,3) равна 0,5.
Необходимо найти значение среднеквадратического отклонения σ случайной величины.
Решение. Воспользовавшись тем, что (см. стр. 59[1]) для нормального распределения
применительно к условиям задачи будем иметь:
Итак, необходимо решить относительно σ уравнение:
или
По таблице интеграла вероятности находим квантиль порядка 0,75. Он равен 0,675.
Отсюда 0,3/σ = 0,675 и
Пример 3. Случайная величина Х имеет нормальное распределение с параметрами m=5 и σ2=4. Чему равны квантили распределения порядка 0,5 и 0,67?
Решение. Квантили находим из уравнения
В первом случае
Интеграл вероятности равен 0,5 при значении аргумента равном нулю. Отсюда
х0,5-5 = 0 и х0,5 = 5.
Получили вполне очевидный результат, поскольку нормальное распределение симметрично относительно математического ожидания, которое совпадает с медианой распределения, а медиана – квантиль порядка 0,5.
Аналогично,
По таблице интеграла вероятности находим значение аргумента, при котором интеграл вероятности равен 0,67. Это значение равно 0,44. Отсюда
и
Задачи для самостоятельного решения
Задача 1. Случайная величина Х имеет нормальное распределение с параметрами m=0 и σ2=1. Что больше: P( -0,5 ≤ X ≤ -0,1) или Р(1 ≤ X ≤ 2) ?
Ответ: первая вероятность больше.
Задача 2. Случайная величина Х имеет распределение Пуассона с параметром λ=1. Найти вероятность того, что случайная величина принимает значения большие единицы.
Ответ: 2/е.