4. Методические указания по изучению дисциплины

Тема 1. Основные понятия теории вероятностей

Случайные события. Классическое определение вероятности. Статистическое определение вероятности. Аксиоматическое построение теории вероятностей. Сумма и произведение событий. Теорема сложения вероятностей. Теорема умножения вероятностей. Формула полной вероятности. Формула Байеса.

Сначала изучите материал, изложенный в главе 1[1]. Затем ответьте на вопросы и выполните задания для самопроверки. Внимательно разберите решения приведенных примеров. Решите задачи, предлагаемые для самостоятельного решения.

При изучении материала обратите внимание на следующее.

1. Несколько несовместных событий образуют полную группу событий, если в результате испытания появится хотя бы одно из них.

2. Сумма вероятностей несовместных событий, составляющих полную группу, равна единице.

3. События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление других в одном и том же испытании, т.е. они не могут произойти одновременно. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

P(A + B) = P(A) + P(B).

4. Для двух совместных событий

P(A + B) = P(A) + P(B) – P(AB).

5. Событие А называется статистически зависимым от события В, если вероятность события А зависит от того, осуществилось или не осуществилось событие В:

Р(А/В).

6. События А и В независимы, если Р(АВ) = Р(А)∙Р(В). Это имеет место и для большего числа событий.

7. Формула полной вероятности позволяет вычислить вероятность события А, которое может наступить тогда и только тогда, когда наступило одно из событий (гипотез) H_i, i = 1, …, n, при этом вероятности гипотез P(H_i) (их называют априорными вероятностями) и условные вероятности P(A/H_i) (их называют апостериорными) известны.

8. Формула Байеса применяется для вычисления условной вероятности P(H_i/A) гипотезы H_i после испытания, при котором произошло событие А. Другими словами, формулы Байеса (их число равно числу гипотез) позволяют переоценить (дать другую оценку) вероятности гипотез, принятые до испытания, по результатам уже проведенного испытания.

Вопросы и задания для самопроверки

1. Какое событие называют достоверным, какое –- невозможным?

2. Какое событие называется случайным?

3. Какие события называются несовместными?

4.Приведите классическое определение вероятности события.

5.Приведите статистическое определение вероятности события.

6. Какое событие называется суммой двух событий?

7. Какое событие называется произведением двух событий?

8. Сформулируйте теорему сложения вероятностей.

9.Что такое условная вероятность?

10. Сформулируйте теорему умножения вероятностей.

11. Запишите формулу полной вероятности.

12. Запишите формулу Байеса.

Примеры решения задач

Пример 1. Бросают два игральных кубика. Какова вероятность того, что сумма выпавших очков равна 7?

Решение. Каждый из кубиков может упасть шестью различными способами. Тогда два кубика могут упасть 6∙6=36 различными способами. Каждому такому способу соответствует событие, которое является исходом бросания двух кубиков. В силу симметричности кубиков все эти события равновозможны и образуют полную группу несовместных событий. Поэтому число исходов бросания двух кубиков n=36. Сумма очков равная 7 будет иметь место, когда на гранях кубика выпадет соответственно 1 и 6, 2 и 5, 3 и 4 , 4 и 3, 5 и 2, 6 и 1. Всего 6 благоприятных исходов. Тогда по классическому определению Р(А)=m/n=6/36=1/6.

Пример 2. Отдел технического контроля проверяет на стандартность по двум параметрам серию изделий. Было установлено, что у 8 из 25 изделий не выдержан только первый параметр, у 6 изделий - только второй, а у 3 изделий не выдержаны оба параметра. Наудачу берется одно из изделий. Какова вероятность того, что оно не удовлетворяет стандарту?

Решение. Рассмотрим следующие события: А –- «у изделия не выдержан первый параметр», В – «у изделия не выдержан второй параметр», С – «изделие не удовлетворяет стандарту». Событию АВ, состоящему в том, что у взятого изделия не выдержаны оба параметра, благоприятствуют три исхода. Событию А благоприятствуют 8+3=11 исходов, а событию В благоприятствуют 6+3=9 исходов. Тогда по теореме сложения вероятностей для двух совместных событий

Р(С) = Р(А + В)=Р(А) + Р(В) – Р(АВ) = 11/25 + 9/25 – 3/25 = 17/25.

Пример 3. Среди пациентов туберкулезного диспансера 15% принадлежат к первой категории больных, 66% – ко второй и 19% – к третьей. Вероятности возникновения заболевания в зависимости от категории больных равны соответственно 0,12; 0,09; 0,2. Найти вероятность возникновения заболевания у наугад выбранного пациента диспансера.

Решение. Воспользуемся формулой полной вероятности:

Р(А)= .

Применительно к задаче вероятность P(H₁) гипотезы о том, что пациенты принадлежат к первой категории больных, равна 0,15. Аналогично Р(Н₂) = 0,66 и Р(Н₃) = 0,19. Условные вероятности возникновения заболевания у каждой категории больных равны: Р(А/Н₁) = 0,12; Р(А/Н₂) = 0,09; Р(А/Н₃) = 0,2.

Таким образом,

Р(А) = 0,15∙0,12 + 0,66∙0,09 + 0,19∙0,2 = 0,1154.

Задачи для самостоятельного решения

Задача 1. Бросают два игральных кубика. Какова вероятность того, что сумма выпавших очков будет не более трех?

Ответ: 1/12.

Задача 2. Бросается игральный кубик. Какова вероятность того, что выпадет четное и меньшее 5 число очков?

Ответ: 1/3.

Задача 3. Среди пациентов туберкулезного диспансера 15% принадлежат к первой категории больных, 66% – ко второй и 19% – к третьей. Вероятности возникновения заболевания в зависимости от категории больных равны соответственно 0,12; 0,09; 0,2. Найти вероятность принадлежности к третьей категории больных пациента, у которого обнаружено заболевание.

Ответ: 0,3293.