Тема 11. Проверка статистических гипотез

Нулевая и альтернативная гипотезы. Уровень значимости и мощность критерия. Проверка гипотез о математическом ожидании. Проверка гипотезы о равенстве двух выборочных средних. Проверка гипотезы о равенстве дисперсий двух совокупностей.

Сначала изучите материал, изложенный в главе 11[1]. Затем ответьте на вопросы и выполните задания для самопроверки. Внимательно разберите решения приведенных примеров. Решите задачи для самостоятельного решения.

При изучении материала обратите особое внимание на следующее.

1. Уровень значимости – это вероятность совершить при проверке гипотезы ошибку первого рода.

2. Проверочную статистику часто называют критериальной статистикой.

3. В общем случае выбор проверочной статистики осуществляется на основании рассмотрения отношения функций правдоподобия при нулевой и альтернативной гипотезах. Однако в ряде случаев эту статистику можно получить, исходя из простых рассуждений, поскольку ее содержательный смысл – определение меры расхождения выборочных данных с нулевой гипотезой.

Например, при проверке гипотезы о значении математического ожидания нормальной генеральной совокупности используется статистика (стр. 185 [1])

обоснование которой можно дать следующим образом: – представляет собой отклонение оценки математического ожидания от предполагаемого значения. Это отклонение при справедливости гипотезы равно нулю и распределено по нормальному закону с нулевым математическим ожиданием и дисперсией, равной дисперсии . А эта дисперсия (см. стр. 151 [1]). Чтобы перейти к стандартному нормальному распределению указанную разность нормируют на среднеквадратичное отклонение .

Аналогично строится проверочная статистика при проверке гипотезы о равенстве математических ожиданий двух нормальных генеральных совокупностей (стр. 189 [1]). В этом случае статистика Z по сути есть не что иное как

При гипотезе : будет иметь

.

При проверке гипотезы о равенстве дисперсий двух нормальных совокупностей за меру расхождения между дисперсиями брать разность между двумя оценками нецелесообразно, поскольку возникают трудности с нахождением ее закона распределения. Поэтому используется статистика, основанная на отношении двух дисперсий и имеющая распределение Фишера с соответствующими числами степеней свободы:

где и – случайные величины с соответствующим числом степеней свободы.

Распределение Фишера определяется двумя параметрами – числами степеней свободы и .

Вопросы и задания для самопроверки

1. Что такое статистическая гипотеза?

2. Какая гипотеза называется нулевой, какая – альтернативной?

3. Какая гипотеза называется простой, какая – сложной?

4. Что представляют собой ошибки первого и второго рода?

5. Что называется мощностью критерия?

6. Какая статистика используется при проверки гипотез о значении математического ожидания нормальной генеральной совокупности с неизвестной дисперсией?

7. Какая статистика используется при проверки гипотезы о равенстве двух выборочных средних нормальных генеральных совокупностей? По какому закону она распределена?

8. Какая статистика применяется при проверки гипотезы о равенстве дисперсий двух нормальных генеральных совокупностей? По какому закону она распределена?

Примеры решения задач

Пример 1. Из нормальной генеральной совокупности с известным среднеквадратическим отклонением извлечена выборка объемом n=100 и по ней найдено выборочное среднее .

Необходимо при уровне значимости проверить нулевую гипотезу : , где m – истинное значение математического ожидания.

Решение. При известном среднеквадратическом отклонении проверочной статистикой является случайная величина

которая при справедливости гипотезы распределена по стандартному нормальному закону.

Поскольку альтернативная гипотеза имеет вид , то критическая область является двусторонней. Критическое значение статистики находится из уравнения

или, используя интеграл вероятности,

.

По таблице интеграла вероятности находим .

Рассчитываем значение статистики Z:

Так как рассчитанное значение статистики больше , нулевую гипотезу отвергаем с уровнем значимости 0,05. Другими словами, истинное значение математического ожидания не равно 26.

Пример 2. Из нормальной генеральной совокупности извлечена выборка объемом n=25 и по ней найдено выборочное математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение .

Требуется при уровне значимости проверить нулевую гипотезу : при альтернативной гипотезе , где m – истинное значение математического ожидания.

Решение. При неизвестном среднеквадратическом отклонении проверочной статистикой является случайная величина

которая имеет распределение Стьюдента с n-1 степенями свободы.

Поскольку альтернативная гипотеза имеет вид , то критическая область является односторонней. Критическое значение находится из уравнения

где p(t) – плотность вероятности распределения Стьюдента. является -процентной точкой распределения Стьюдента с числом степеней свободы n-1. По таблице процентных точек этого распределения находим .

Рассчитываем значение статистики Т:

.

Так как это значение меньше , то нулевая гипотеза не отвергается при уровне значимости 0,05.

Пример 3. Каждый из восьми образцов раствора кислоты разделен на две равные части. Одна половина каждого образца для определения концентрации передана химику 1, а другая с этой же целью исследовалась химиком 2. Результаты, представляющие собой количество кубических сантиметров щелочи, использованной для нейтрализации кислоты, для обоих химиков имеют вид

Химик 1	35	37	31	27	33	31	29	35
Химик 2	36	41	35	26	35	36	36	35

Необходимо проверить при уровне значимости , имеются ли различия в результатах химиков. Результаты измерений объема щелочи считать распределенными по нормальному закону.

Решение. Задача сводится к проверке гипотезы о равенстве математических ожиданий двух генеральных совокупностей, когда дисперсии совокупностей неизвестны. Используется проверочная статистика

,

где и – выборочные математические ожидания, – объединенная оценка дисперсии

,

где и – объемы выборок.

Поскольку при составлении предполагается, что выборочные дисперсии и незначимо отличаются одна от другой, то следует сначала проверить гипотезу (дисперсии совокупностей равны) против альтернативной . Эта проверка осуществляется с использованием статистики , распределенной по закону Фишера с числами степеней свободы и .

Рассчитываем выборочные математические ожидания и дисперсии:

;

Находим значение статистики F (в числитель подставляется большая из вычисленных оценок дисперсий):

Зададим уровень значимости при проверке гипотезы о равенстве дисперсий . Критическими для проверки являются значения

,

где – -процентная точка распределения Фишера с числами степень свободы и .

По таблице процентных точек распределения Фишера находим . Так как значение статистики F меньше 3,79, то гипотеза о равенстве дисперсий не отвергается.

Вычисляем объединенную оценку дисперсии:

.

Рассчитываем значение статистики Т:

.

Критическими для проверяемой гипотезы при являются значения .

По таблице процентных точек распределения Стьюдента находим . Таким образом нет оснований считать, что результаты химиков отличаются при уровне значимости 0,1.

Задачи для самостоятельного решения

Задача 1. По двум выборкам объемами и , извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y, найдены исправленные выборочные дисперсии и . Проверить при уровне значимости нулевую гипотезу о равенстве генеральных дисперсий совокупностей X и Y при альтернативной гипотезе

Ответ: нет оснований отвергнуть проверяемую гипотезу при уровне значимости 0,05.

Задача 2. Из двух нормальных генеральных совокупностей взяты выборки: 1) 3; 4; 3; 5; 5; 2) 5; 5; 4; 6; 5.

Проверить при уровне значимости гипотезу о равенстве математических ожиданий совокупностей при альтернативной гипотезе об их неравности.

Ответ: проверяемая гипотеза не отвергается при уровне значимости 0,1.

Задача 3. Поставщик удобрений утверждает, что применение новой партии удобрений обеспечивает урожайность пшеницы 60 ц/га. Удобрение внесли на 31 участок, каждый площадью 1 га и получили среднюю урожайность 55 ц/га при выборочном среднеквадратическом отклонении 3 ц/га. Считая, что контролируемый признак имеет нормальное распределение, проверить справедливость утверждения поставщика при уровне значимости 0,05.

Ответ: утверждение поставщика удобрений не справедливо, так как не согласуется с опытными данными.