Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Мурманский государственный гуманитарный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

МУ к выполнению РГЗ + Варианты [Матан.].doc

Скачиваний:

Добавлен:

01.05.2025

Размер:

3.24 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 133 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Задача 2

Провести полное исследование свойств следующих функций и построить их графики:

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Решение

ООФ: ;

нули функции и промежутки знакопостоянства:

;

ООФ нулей функции нет;

на всем промежутке существования функии ;

непрерывность, точки разрыва, вертикальные асимптоты:

функция непрерывна на промежутке так как является элементарной,

следовательно непрерывной на своей ООФ;

проверим наличие вертикальной асимптоты на границе ООФ, то есть при :

– односторонняя (левосторонняя) вертикальная асимптота графика функции;

четность, периодичность:

свойством четности данная функция обладать не может, так как её ООФ не является симметричной относительно нуля; следовательно, функция не является ни четной, ни нечетной;

функция не является периодической;

монотонность и экстремумы:

;

, т.е. – стационарная точка;

достаточные условия монотонности и экстремумов:

знаки

монотонность

вычисляем экстремум функции:

;

функция убывает на промежутке и

возрастает на промежутке ;

вогнутость, выпуклость, точки перегиба:

;

точки, подозрительные на перегиб:

;

достаточные условия выпуклости, вогнутости, точек перегиба:

знаки

выпуклость/вогнутость

вычисляем ординату точки перегиба:

;

точка перегиба ; график функции является вогнутым на промежутке и выпуклым на промежутке ;

наклонные (горизонтальные) асимптоты:

если график имеет наклонную асимптоту, то её уравнение , где

, ;

вычисляем значения k и b для исследуемой функции:

так как , то наклонных асимптот нет;

дополнительные точки графика:

О твет 1: график функции

сводная таблица свойств функции :

x	(0;1)	1	(1;3)	3	(3; )
	–	0	+	+	+
	+	+	+	0	–
		min y=2		перегиб y 2,28

односторонняя вертикальная асимптота x = 0 (при ).

ООФ:

ОЗФ, нули функции, промежутки знакопостоянства: нулей функции нет; при ;

непрерывность, точки разрыва, вертикальные асимптоты:

функция непрерывна на своей ООФ, так как является элементарной нет точек разрыва нет вертикальных асимптот;

четность, периодичность:

функция может обладать свойством четности, так как её ООФ симметрична относительно нуля;

– функция ни четная, ни нечетная;

функция не является периодической;

монотонность, точки экстремумов:

;

необходимое условие экстремумов:

–это стационарные точки;

д остаточные условия монотонности и экстремумов:

знаки

м онотонноть

экстремумы y:

на промежутке ;

вогнутость, выпуклость, точки перегиба:

необходимое условие перегибов:

–

это точки, подозрительные на перегиб;

достаточные условия выпуклости, вогнутости, точек перегиба:

з наки

выпуклость/вогнутость

ординаты точек перегиба:

график функции имеет две точки перегиба , является вогнутым на промежутках и является выпуклым на промежутке ;

наклонные и горизонтальные асимптоты:

если график имеет наклонную асимптоту, то её уравнение где

, ;

так как при , а при , то для данной функции нужно отдельно рассматривать пределы при и при :

при асимптот нет;

так как , то

;

прямая является горизонтальной асимптотой, но только при ;

дополнительные точки графика:

;

Ответ 2: график функции

A (0,6; 1,2)

B (2; 1,54)

C (3,4; 1,4)

сводная таблица свойств функции :

х		0		0,6		2	(2; 3,4)	3,4
	–	0	+	+	+	0	–	–	–
	+	+	+	0	–	–	–	0	+
		min y=1		перегиб		max		перегиб

горизонтальная асимптота y=1 при

ООФ:
непрерывность, точки разрыва, вертикальные асимптоты:

функция непрерывна на всей ООФ, т.е. при , так как является элементарной точек разрыва нет и вертикальных асимптот нет;

четность, нечетность, периодичность:

функция может обладать свойством четности, так как её ООФ симметрична относительно нуля;

функция не является ни четной, ни нечетной;

функция не является периодической;

нули функции и промежутки знакопостоянства:

y = 0 или

знаки

монотонность, точки экстремумов:

;

необходимое условие экстремумов:

функция имеет две критические точки и , причем, точка x₂ является подозрительной на острый экстремум;

д остаточные условия монотонности и экстремумов:

знаки

монотонноть

;

вогнутость, выпуклость, точки перегиба:

;

необходимые условия перегиба:

функция имеет 2 точки, подозрительные на перегиб;

достаточные условия перегиба:

знаки

выпуклость/вогнутость

ордината точки перегиба:

;

график функции имеет одну точку перегиба , является выпуклым на промежутке и является вогнутым на промежутке ;

наклонные и горизонтальные асимптоты:

если график имеет наклонную асимптоту, то её уравнение где

наклонных асимптот нет;

дополнительные точки графика:

; .

Ответ 3: график функции

A(-0,2; -0,41)

B(0,4; -0,324)

сводная таблица свойств функции :

х		-0,2		0		0,4
	+	+	+	не	–	0	+
	–	0	+	не	+	+	+
		перегиб y = –0,41		0		min y = –0,324

ассимптот у графика нет.

ООФ: , то есть ;
нули функции, промежутки знакопостоянства:

нулей функции нет;

на промежутке , на промежутке ;

непрерывность, точки разрыва, вертикальные асимптоты:

функция имеет точку разрыва , так как эта точка не принадлежит ООФ, но её окрестность входит в ООФ; чтобы узнать поведение функции в окрестности точки разрыва , нужно вычислить односторонние пределы функции при :

- точка бесконечного разрыва (разрыв второго рода),

прямая является вертикальной асимптотой графика функции;

четность, периодичность:

ООФ не является симметричной относительно нуля, поэтому функция не может обладать свойством четности/нечетности, следовательно, функция не является ни четной, ни нечетной; также функция не является периодической;