2.1.1. Уравнения диффузии

В 1855 г. швейцарский физик А. Фик предложил теорию диффузии. В основу этой теории положена аналогия между процессами переноса массы в растворах и тепла в телах за счет теплопроводности. Согласно модели А. Фика (при отсутствии конвективного переноса) поток вещества (атомов) в одномерном направлении через единицу площади в единицу времени (кг/м²с) может быть определен из уравнения первого закона А Фика:

, (1)

где c — концент­рация растворенного вещества, которая, как предполагается, за­висит только от координаты х и времени τ; х — ось координат, совпадающая с на­правлением потока вещества; D — коэффициент диффузии (м²/с).

Из уравнения (1) следует, что локальная скорость диффузионного переноса (растворенного) вещества пропор­циональна градиенту концентрации этого вещества

В соответствии с законом сохранения вещества, изменение кон­центрации растворенного вещества со временем должно быть равно уменьшению диффузионного потока в том же объеме, где произошло изменение концентрации, т. е.

(2)

Это уравнение формализует второй закон Фика для одномерного случая:

При низких концентрациях растворенного вещества коэффи­циент диффузии можно считать постоянным и уравнение (2) можно записать в виде

. (3)

Решения уравнений диффузии.

Наиболее просто уравнения диффузии решаются для случая независимости коэффициента диффузии D от концентрации примеси/

В практике формирования p-n переходов диффузионное легирование проводят при двух граничных условиях:

- диффузия из неограниченного источника;

- диффузия из ограниченного источника.

В первом случае примесные атомы диффунди­руют из источника, нанесенного на поверхность кремниевой под­ложки. Такой источник поддерживает постоянную поверхност­ную концентрацию (C_пов = const) благодаря равенству потоков прихода и расхода диффундирующего компонента в течение всего процесса диффузии.

Во вто­ром случае небольшое количество легирующего вещества (предварительно) осаж­дается на поверхность кремния. Это условие реализуется при использовании низкотемпературных процессов, например ионной имплантации, на первой стадии диффузион­ного процесса. Диффузия из ионно-имплантированных слоев мо­жет служить примером второго случая.

Ниже при­ведены решения диффузионного уравнения Фика для обоих слу­чаев.

Диффузия из бесконечного источника.

Начальные условия

при τ = 0 и х >0 С (х,0) = 0 (4)

Граничные условия

при x =0 и τ ≥ 0 С (0,τ) = С _пов (5)

x = и τ > 0 С ( ,τ ) = 0 (6)

Тогда решение уравнения (3), которое удовлетворяет на­чальным и граничным условиям, можно записать как

, (7)

где С_пов — постоянная поверхностная концентрация легирующией примеси, (м^-3) ; D— постоянный коэффициент диффузии, (м²/с); х— рас­стояние по оси координат (м) с учетом, что х=0 находится на по­верхности кремния; τ—время диффузии, (с); и erfc — дополни­тельная функция ошибок.

На рис. 5.2 приведен нормированный профиль концентрации для распределения примеси согласно дополнительной функции ошибок уравнение (7).

Рис.1 Нормированное распределение по дополнительной функции ошибок.

Глубина, на которой концентрация диффундирующей примеси равняется концентрации исходной примеси в подложке, называется металлургическим перехо­дом х_j . Выражение для вычисления глубины залегания диффузионного p – n перехода имеет вид:

(8)

Для х_j можно записать С(х_j) = С_п, где С_п, — концентра­ция исходной примеси в подложке. Предполагая, что подложка легирована примесью противоположного (диффузанту) типа проводимости и используя для отображения концентрации логарифмическую шкалу, можно определить результирующую кон­центрацию легирующих элементов /С_D — Сa/ вблизи р—n перехода.

Н а рис. 2 показаны распределение примеси для двух различных значений времени диффузии.

Рис.2 Диффузия легирующих элементов с поверхности постоянной концентрации

Чтобы С _пов сохранялось постоянным, необходимо равенство потоков поступления вещества и его убыли.

Количество примесных атомов, поступивших в твёрдое тело за время τ равно

(9)

Диффузия из ограниченного источника.

Предположим, что на поверхности кремниевой подложки осажден тонкий слой (толщиной h) ле­гирующего вещества с фиксированным или постоянным общим числом атомов. Приток диффузанта извне отсутствует. Кремниевая подложка, в которую проводится диффузия, легирована примесью противоположного типа проводимости с концентрацией С_п (м ^-3). Такие условия характерны для изготовления сплавно-диффузионных и эпитаксиальных структур.

В этом случае решение уравнения (3) проводится при следующих начальном и граничных условиях:

при τ = 0 и 0 ≤ х ≤ h С (х,0) = C _пов (10)

при τ = 0 и h ≤ х ≤ С (х,0) = 0 (11)

Решение диффузионного уравнения (3), которое удовлетво­ряет условиям (10), (11) будет следующее выражение:

(12)

Вид этой функции показан на рис. 3 (при h =1).

Рис. 3 Диффузия из ограниченного источника

При τ = 0 распределение негауссово для всех значений х; при = 1 распределение гауссово для 0 < х < 1; при = 2 распределение гауссово для 0 < х < 4; при = 5 распределение гауссово для 0 < х < 25.

Если глубинна диффузии х << h , то →1 и распределение

примеси будет определяться следующей зависимостью:

С(х,τ) = (13)

Данное распределение описывает диффузионный поток в эпитаксиальных структурах с толстыми слоями, когда h >> .

Диффузия из неограниченного источника проводится при изоляции полупроводниковых структур и формирования эммитерных областей.

Диффузия из ограниченного источника используется при создании многослойной структуры и формирования базовых областей транзисторов.