§ 3. Примеры игр.

Пример 1. Игра полковника Блотто.

Рассмотрим условную военную ситуацию под названием игра полковника Блотто.

Две воюющие армии ведут борьбу за два населенных пункта. Армия полковника Блотто состоит из четырех полков, армия противника из трех. Армия, которая посылает больше полков на тот или иной пункт, занимает его и уничтожает все силы противника. Она получает по единице за каждый занятый пункт и за каждый уничтоженный полк противника. Полковник Блотто должен решить, как распределить свои полки, чтобы выиграть максимальное количество очков.

Очевидно, у полковника Блотто имеется пять стратегий распределения своих сил. Их можно представить в виде пары чисел {x,y}, где x – число полков, посылаемых на пункт 1, а y – число полков, посылаемых на пункт 2. Вот эти стратегии: {4,0}, {0,4}, {3,1}, {1,3}, {2,2}. У противника стратегии можно представить так: {3,0}, {0,3}, {2,1}, {1,2}. Пусть полковник Блотто это игрок A, а его противник B.

Тогда платежная матрица принимает вид:

Стратегия Стратегия П игрока I	(3,0)	(0,3)	(2,1)	(1,2)
(4,0)	4	0	2	1
(0,4)	0	4	1	2
(3,1)	1	-1	3	0
(1,3)	-1	1	0	3
(2,2)	-2	-2	2	2

Пример 2. «Завоз товара в магазин»

На базе торговой организации имеется n товаров. В магазин можно завести только один из них. Если товар типа j, ( ) будет пользоваться спросом, то магазин получит прибыль P_j тыс.руб, если нет, то убытки от его хранения и порчи составят l_j тыс.руб. ( ). Занесем данные в таблицу.

Тип товар.	1	2	…	n
Доход Pj	P1	P2	…	Pn
Убыток lj	l1	l2	…	ln

Требуется выбрать тот тип товара, который целесообразно завезти в магазин.

Будем считать, что у нас два игрока: A – магазин и B – покупательский спрос, который магазину неизвестен. То есть имеем ситуацию с неопределенностью покупательского спроса. У игрока A – n стратегий; стратегия A_i – завозить в магазин товар i, у игрока B – тоже n стратегий; стратегия B_j – спрос на товар типа j . Выигрыш магазина – игрока A – это его доход или убыток. Конечную антагонистическую игру можно задать следующей платежной матрицей: .

Bj Ai	B1	B2	B3	…	Bn
A1	P1	-l1	-l1	…	-l1
A2	-l2	P2	-l2	…	-l2
A3	-l3	-l3	P3	…	-l3
…	…	…	…	…	…
An	-ln	-ln	-ln	…	Pn

Пример 3. Выбор с/х культуры.

Хозяйство имеет возможность выращивать на одном и том же поле 2 культуры. Прибыль совхоза зависит от объема реализации полученного урожая культур. Урожай первой культуры выше при сухой погоде, а второй – при более влажной. Состояния погоды в летний период характеризуются как следующие стратегии погоды:

1. лето теплое влажное – B₁,

2. лето теплое сухое – B₂,

3. лето прохладное влажное – B₃,

4. лето прохладное сухое – B₄.

Стратегии хозяйства:

1. выращивать первую культуру – A₁,

2. выращивать вторую культуру – A₂.

Требуется определить, в каком соотношении следует выращивать сельскохозяйственные культуры, чтобы получить максимальную прибыль от реализации полученного урожая. Эта конфликтная ситуацию описана как игра, где хозяйство – игрок A, погода – игрок B и платежная матрица приведена выше.

Пример 4. «Дилемма бандита».

Пусть игроками являются два преступника, находящиеся в предварительном заключении по подозрению в тяжком убийстве. Прямых улик против них нет и мера обвинения в значительной мере зависит от того, сознаются ли преступники сами. Если оба сознаются, то будут осуждены на 5 лет каждый; если оба не сознаются, то их все же за менее значительные преступления осудят на 1,5 года; если сознается один из них, то он будет освобожден, а его партнер будет осужден на 7 лет.

Здесь каждый игрок – преступник имеет по две стратегии – сознаться или не сознаться. Матрицы выигрыша игроков в этой игре запишутся в виде.

;

Пример 5. «заяц – контролер»

Пусть игрок A – заяц,

игрок B – контролер.

У зайца две стратегии: A₁ – не покупать билет,

А₂ – купить билет.

У контролера тоже две стратегии:

B₁ – не проверять наличие билета,

B₂ – проверить наличие билета.

Цена билета: 1,1 руб.

Штраф: 25 р.

Платежная матрица.

Bj Ai	B1	B2
A1	1,1	-25
A2	-1,1	0