Краткая классификация игр.

1. Игры бывают парные и множественные (по числу игроков).

2. Игры конечные и бесконечные (по числу стратегий, а не во времени)

3. Игры одноходовые и многоходовые (по числу ходов).

4. Игры антогонистические и неантогонистические (по характеру игры).

5. Игры коалиционные и некоалиционные.

§ 2. Платежная матрица.

Пусть имеется парная игра, в которой участвуют два игрока A и B с противоположными интересами. Тогда выигрыш одного игрока равен проигрышу другого, сумма выигрышей равна нулю, отсюда и название такой игры – игра с нулевой суммой. Будем условно считать, что игрок A – выигрывает, а B – проигрывает.

Такую игру можно описать с помощью, так называемой, платежной матрицы. Пусть A₁, A₂, …, A_m стратегии игрока A, а B₁, B₂,…,B_n стратегии игрока B. Стратегии A_i, и B_j будем называть чистыми стратегиями игроков A и B.

Платежная функция задается в виде матрицы. Пусть игрок A выбрал стратегию A_i, а B – B_j, тогда этот выбор однозначно определяет исход игры – выигрыш (положительный или отрицательный), обозначим его C_ij, . Значения C_ij определяют платежную матрицу , которую будем задавать в виде следующей таблицы.

Bj Ai	B1	B2	…	Bj	…	Bn
A1	C11	C12	…	C1j	…	C1n
A2	C21	C22	…	C2j	…	C2n
…	…	…	…	…	…	…
Ai	Ci1	Ci2	…	Cij	…	Cin
…	…	…	…	…	…	…
Am	Cm1	Cm2	…	Cmj	…	Cmn

Это матрица называется также матрицей игры.

Строки матрицы соответствуют чистым стратегиям игрока A, а столбцы – чистым стратегиям игрока B. Элемент матрицы C_ij определяет результат игры (выигрыш игрока A) при выборе игроками A и B стратегий A_i и B_j соответственно, .

Как происходит одноходовая игра? Игрок A выбирает одну из стратегий, например, A_i; это соответствует i-ой строке платежной матрицы. Игрок B, не зная результата выбора игрока A, выбирает некоторую стратегию B_j, что соответствует j-ому столбцу этой матрицы.

Элемент C_ij определяет величину выигрыша игрока A и проигрыша игрока B. Если значения C_ij < 0, то это означает, что фактически игрок A проиграл, а игрок B выиграл.

Игрок A стремится максимизировать свой выигрыш, а игрок B стремится минимизировать свой проигрыш. Поэтому их называют максимизирующим и минимизирующим игроками.

Вывод: таким образом, игрой называется модель конфликтной ситуации, в которой определены набор стратегий каждого ее участника и платежная матрица. В любой игре требуется определить оптимальные стратегии ее участников, считая, что каждый из них действует наилучшим для себя образом.

Таким образом, основной вопрос теории игр состоит в том, как наиболее рационально должны поступать в конфликтной ситуации игроки A и B и каков будет средний результат игры, если каждый игрок считает своего противника столь же умным, как он сам, и не рассчитывает на его промахи. Это предположение называется принципом разумности противника.