3. Машины Тьюринга

Задание 1. Дана машина Тьюринга с внешним алфавитом А={a₀,1}, алфавитом внутренних состояний Q={q₀,q₁,…,q₇} и следующей программой

Q A	q1	q2	q3	q4	q5	q6	q7
a0	q4a0П	q6a0П	q6a0П	q01	q4a0П	q0a0	q6a0П
1	q21Л	q31Л	q11Л	q5a0	q5a0	q7a0	q7a0

Изображая на каждом такте работы машины получившуюся конфигурацию, определите, в какое слово переработает машина каждое из следующих слов. В начальный момент времени машина находится в состоянии q₁ и обозревает первую справа ячейку слова.

1)11111

2) 1a₀111 a₀a₀1111

3) 11a₀ 111

Решение.

1. 

Машина Тьюринга применима к слову α и перерабатывает его в пустое слово λ.

2. 

Машина Тьюринга применима к слову α и перерабатывает его в слово β=1a₀111.

3. 

Машина Тьюринга применима к слову α и перерабатывает его в слово β=11a₀a₀a₀a₀1.

Задание 2. Построить машину Тьюринга, которая перерабатывает слово α в слово β, не применяя пустых ячеек a₀ слева от данного слова. В состоянии q₁ обозревается крайняя левая ячейка слова.

1. α= 1010110, β=1111

2. α= 00101101, β=0110

3. α= 1100111, β=0010

Решение. Построить машину Тьюринга означает написать ее программу. Таких вариантов может быть много. Основная идея – вначале записать слово β, а затем оставшиеся буквы стереть. Так как программу составляем сами, то начальное положение головки можно выбирать любым способом. Пусть в начальный момент времени машина обозревает первую слева ячейку слова.

1. 

Машина Тьюринга задана внешним алфавитом А={а₀,0,1}, алфавитом внутренних состояний Q={q₀,q₁,q₂,q₃} и программой Т_ij: q₁1q₁1П, q₁0q₂1П, q₂1q₂1П, q₂0q₃1П, q₃1q₃a₀П, q₃а₀q₀a₀.

2. 

Машина Тьюринга задана внешним алфавитом А={а₀,0,1}, алфавитом внутренних состояний Q={q₀,q₁,q₂,q₃,q₄} и программой Т_ij: q₁0q₂0П, q₂0q₂1П, q₂1q₃1П, q₃0q₃0П, q₃1q₄a₀П, q₄1q₄a₀П, q₄0q₄a₀П,q₄а₀q₀a₀.

3. 

Машина Тьюринга задана внешним алфавитом А={а₀,0,1}, алфавитом внутренних состояний Q={q₀,q₁,q₂} и программой Т_ij: q₁1q₁0П, q₁0q₂1П, q₂0q₂0П, q₂1q₂a₀П, q₂а₀q₀a₀.

Задание 3. Доказать, что функция f(x,y) вычислима по Тьюрингу.

1) f(x,y) = y

2) f(x,y) = x-y

3) f(x,y) = x+y+3

Решение.

1) Функция f вычислима по Тьюрингу, если присоединенная функция вычислима по Тьюрингу.

f(x,y) = y

, A={1, }

Построим машину Тьюринга для функции .

Пусть в начальный момент времени машина обозревает первую слева ячейку слова. Внешний алфавит А={а₀, ,1}, алфавит внутренних состояний Q={q₀,q₁} и программа Т_ij: q₁1q₁a₀П, q₁ q₀a₀.

Следовательно, вычислима по Тьюрингу, а значит, f вычислима по Тьюрингу.

2) f(x,y) = x-y

, A={1, }

Построим машину Тьюринга для функции .

Пусть в начальный момент времени машина обозревает первую справа ячейку слова. Внешний алфавит А={а₀, ,1}, алфавит внутренних состояний Q={q₀,q₁,q₂,q₃,q₄} и программа Т_ij: q₁1q₂a₀Л, q₂1q₂1Л, q₂ q₂ Л, q₂а₀q₃a₀П, q₃1q₄a₀П, q₄1q₄1П, q₄ q₄ П, q₄а₀q₁a₀П, q₁ q₀a₀.

Следовательно, вычислима по Тьюрингу, а значит, f вычислима по Тьюрингу.

3) f(x,y) = x+y+3

, A={1, }

Построим машину Тьюринга для функции .

Пусть в начальный момент времени машина обозревает первую слева ячейку слова. Внешний алфавит А={а₀, ,1}, алфавит внутренних состояний Q={q₀,q₁,q₂} и программа Т_ij: q₁1q₁1П, q₁ q₁1П, q₁а₀q₂1П, q₂а₀q₀1.

Следовательно, вычислима по Тьюрингу, а значит, f вычислима по Тьюрингу.