3. Машины Тьюринга

Машина Тьюринга полностью определяется следующими составляющими:

1) внешний алфавит А={а₀,а₁,...,а_n}, а₀ - символ пустой ячейки;

2) алфавит внутренних состояний Q={q₀,q₁,...,q_m}, q₀ - состояние остановки: попав в него, машина прекращает работу; q₁ - начальное состояние: в этом состоянии машина начинает работать;

3) программа (функциональная схема) — совокупность выражений Т_ij (i=1,…,m, j=1,…,n), каждое из которых имеет один из следующих видов: q_ia_jq_ka_lП, q_ia_jq_ka_lЛ, q_ia_jq_ka_l.

Выражения Т_ij называются командами.

Наглядно устройство и работу машины Тьюринга можно представить себе следующим образом: машина имеет бесконечную в обе стороны ленту, разбитую на ячейки. В каждой ячейке записана ровно одна буква из внешнего алфавита А, запись буквы а₀ означает что ячейка пуста. Машина имеет управляющее устройство, включающее считывающе-записывающую головку. В каждый момент времени машина находится в одном из состояний, обозначенных буквами алфавита внутренних состояний, и «обозревает» точно одну ячейку ленты. По команде q_ia_jq_ka_lX, где Х=П или Х=Л , или Х отсутствует, машина, находясь в состоянии q_i и обозревая ячейку, в которой записана буква а_j, переходит в состояние q_k, в обозреваемой ячейке стирает букву a_j и заносит туда букву a_l. Затем машина переходит к обозрению ячейки, находящейся справа или слева в зависимости от того Х=П или Х=Л соответственно, или же продолжает обозревать эту же ячейку, если место Х в команде не заполнено. После выполнения указанной команды машина в следующий момент времени переходит к выполнению команды q_ka_lq_ra_sX.

Пусть на ленте в ячейках записано слово α алфавита А. Если лента не содержит символов, отличных от а₀, то слово α называется пустым (обозначается α=).

Если α≠, то будем считать что левее и правее α все символы равны а₀, а самый левый и самый правый символы α не являются пустыми.

Будем говорить, что машина Тьюринга Т перерабатывает слово α в слово β, если Т применима к α в начальном состоянии, а β изображено на ленте, когда машина Тьюринга находится в состоянии остановки q₀.

Под k-той конфигурацией будем понимать изображение слова, записанного на ленте к началу k-того такта, с указанием того, какая ячейка обозревается в этот такт и в каком состоянии находится машина.

Говорят, что машина Тьюринга Т неприменима к слову α, если Т, будучи применена к α в начальном состоянии, никогда не останавливается (зацикливается).

Пример. Машина Тьюринга задана внешним алфавитом А={а₀,0,1}, алфавитом внутренних состояний Q={q₀,q₁,q₂,q₃,q₄} и программой

1. q₁0q₁1П

2. q₁1q₂1П

3. q₂1q₂1П

4. q₂0q₃1П

5. q₃1q₃1П

6. q₃а₀q₄1П

7. q₄а₀q₀1

Изображая на каждом такте работы машины получающуюся конфигурацию, определите, применима ли машина Тьюринга к слову α=01111011. В начальной конфигурации машина находится в состоянии q₁ и обозревает первую слева ячейку слова α.

Решение.

Функция f в алфавите А={а₀,а₁,...,а_s} называется вычислимой по Тьюрингу, если существует машина Тьюринга с внешним алфавитом {а₀,а₁,...,a_s,…,а_n}, которая всякое слово α из области определения f перерабатывает в слово f(α) и неприменима ко всякому слову β, на котором f не определена.

Арифметическая функция f называется вычислимой по Тьюрингу, если присоединенная для нее функция вычислима по Тьюрингу.

Тезис Тьюринга. Класс вычислимых по Тьюрингу арифметических функций совпадает с классом вычислимых функций.

Теорема. Следующие классы арифметических функций совпадают:

1. класс частично-рекурсивных функций;

2. класс функций, вычислимых по Маркову;

3. класс функций, вычислимых по Тьюрингу.

В отличие от интуитивного понятия алгоритма все три определения алгоритма являются математически точными. Основная заслуга определений состоит в доказательстве отсутствия алгоритмов при решении некоторых классов задач.