2. Нормальные алгоритмы Маркова

Пусть А={а₁,...,а_r} – конечное множество конечных символов (букв). Множество А называется алфавитом. Конечная последовательность символов α=а_i1…а_ik, где а_ijA, называется словом в алфавите А, число k – длиной слова α; если к=0, то слово называется пустым и обозначается .

Слово α называется подсловом слова β, если β имеет вид β=α₁αα₂ для некоторых подслов α₁ и α₂. Возможно, что слово α в слово β входит несколько раз. Тогда оговаривается первое вхождение слова α в качестве подслова.

Пример. Пусть α=ab, β=

Формулой подстановки вместо слова α слова β называется выражение вида αβ или αβ, где α и β – слова данного алфавита; αβ называется простой подстановкой, αβ – заключительной подстановкой.

Рассмотрим действие подстановки на некотором слове . В слове  выделим первое вхождение слова α в качестве подслова. Если α отсутствует в , то  есть результат применения подстановки αβ к слову .

Пусть α входит в  и ₁ - это слово, полученное из  заменой первого вхождения подслова α подсловом β. Запись  ₁.

Если подстановка была заключительной, т.е. αβ, то процесс подстановки заканчивается и ₁ - окончательный результат. В случае простой подстановки αβ, к слову ₁ можно вновь применить постановку. Если процесс подстановки неограничен, то говорят, что подстановка к слову неприменима.

Схемой нормального алгоритма Маркова называется упорядоченная последовательность подстановок вида α₁∘β₁, α₂∘β₂, …, α_n∘β_n, где α_i, β_i -слова данного алфавита, ∘ означает наличие или отсутствие точки.

Процесс применения нормального алгоритма Маркова к слову  состоит в следующем. К слову  применяется первая из применимых подстановок нормального алгоритма Маркова.

Пусть  ₁, ₁ – результат применения к слову  подстановки α_iβ_i. Далее к слову ₁ применяется первая из применимых подстановок нормального алгоритма Маркова: ₁ ₂. И т.д.

Пусть _k – слово, полученное из _k-1 применением заключительной подстановки α_lβ_l. Тогда _k - результат применения к слову  нормального алгоритма Маркова. Возможно, что последняя подстановка не была заключительной, но к слову _k ни одна подстановка уже не применима. Тогда _k – также является результатом переработки.

Пример. Пусть нормальный алгоритм Маркова в алфавите А={1, } задан последовательностью подстановок N: 1)1++1; 2)+11; 3)11. Покажите, в какое слово перерабатывает этот алгоритм слово 1111+11+111.

Решение.

1111+11+111 111+111+111 11+1111+111 1+11111+111 +111111+111 +11111+1111 … ++111111111 +111111111 111111111 111111111

Введем понятие функции в алфавите. Функцией в алфавите А называется функция, определенная на множестве слов алфавита А и со значениями в множестве слов этого алфавита.

Между арифметическими функциями и функциями в алфавите существует тесная связь. Действительно, пусть f(x₁,…,x_k) – арифметическая функция (отображение (ℕ{0})^k  ℕ{0}). По данной функции построим функцию в алфавите А={0,1, }. Для этого, натуральному числу n поставим в соответствие набор из n единиц , т.е. слово алфавита А; 00 – однобуквенное слово; упорядоченному набору (n₁,…,n_k) - слово в том же алфавите.

Пусть f(n₁,…,n_k)=m. Тогда слову, являющемуся кодом упорядоченной n-ки ставится в соответствие слово из m единиц. Тем самым, по арифметической функции f строится функция на множестве слов алфавита А. Функция называется присоединенной для арифметической функции f.

Функция в алфавите А называется вычислимой по Маркову, если существует нормальный алгоритм Маркова, который всякое слово α из области определения перерабатывает в слово (α) и неприменим ко всякому слову β, на котором не определена.

Арифметическая функция f называется вычислимой по Маркову, если присоединенная для нее функция вычислима по Маркову.

Тезис Маркова. Класс вычислимых по Маркову арифметических функций совпадает с классом вычислимых функций.