5.3. Полиномиальные модели

Операция замены одной функции другой, в каком-то смысле эквивалентной функцией, называется аппроксимацией. Но полиномы бывают разных степеней.

Эксперимент нужен только для того, чтобы найти численные значения коэффициентов полинома. Поэтому чем больше коэффициентов, тем больше опытов окажется необходимым. А мы стремимся сократить их число. Значит, надо найти такой полином, который содержит как можно меньше коэффициентов, но удовлетворяет требованиям, предъявленным к модели. Чем ниже степень полинома при заданном числе факторов, тем меньше в нем коэффициентов.

Мы хотим, чтобы модель хорошо предсказывала направление наискорейшего улучшения параметра оптимизации. Такое направление называется направлением градиента.

Можно ли в этой связи всегда использовать полином первой степени? С одной стороны, он содержит информацию о направлении градиента, с другой — в нем минимально возможное число коэффициентов при данном числе факторов. Единственное опасение в том, что неясно, будет ли линейная модель всегда адекватной. Ответ зависит еще и от объекта.

Вопрос в том, как выбрать подобласть в факторном пространстве, чтобы линейная модель оказалась адекватной. Условие аналитичности функции отклика гарантирует эту возможность. Всегда существует такая окрестность любой точки (точнее, почти любой точки), в которой линейная модель адекватна. Размер такой области заранее не известен, но адекватность можно проверять по результатам эксперимента. Значит, выбрав сначала произвольную подобласть, рано или поздно, можно найти ее требуемые размеры. И как только это случится, воспользуемся движением по градиенту.

На следующем этапе мы будем искать линейную модель уже в другой подобласти. Цикл повторяется до тех пор, пока движение по градиенту не перестанет давать эффект. Это значит, что мы попали в область, близкую к оптимуму. Такая область называется «почти стационарной». Здесь линейная модель уже не нужна. Либо попаданием в почти стационарную область задача решена, либо надо переходить к полиномам более высоких степеней, например второй степени, чтобы подробнее описать область оптимума.

Кроме задачи оптимизации, иногда возникает задача построения интерполяционной модели. В этом случае необходимо предсказывать результат с требуемой точностью во всех точках некоторой заранее заданной области. Тут не приходится выбирать подобласть. Необходимо последовательно увеличивать степень полинома до тех пор, пока модель не окажется адекватной.

6. Полный факторный эксперимент

6.1. Особенности полного факторного эксперимента

Отметим вначале, что для факторного (планируемого по определенной схеме) эксперимента характерна минимальная дисперсия коэффициентов регрессии по сравнению с классическим подходом. При планируемом эксперименте коэффициент регрессии определяется по результатам всех N экспериментов. Поясним это на примере взвешивания трех грузов.

Факторы A B C	Выход (результат взвешивания)
-- -- --	y1
+ -- --	y2
-- + --	y3
-- -- +	y4

Таблица 6.1 При традиционном подходе к задаче используется схема опытов, представленная в таблице 6.1. Здесь отсутствие объектов на весах обозначается знаком «—», присутствие — знаком «+». В первом опыте все три объекта отсутствуют — производится «холостое» взвешивание; в последующих опытах на весы последовательно помещают один объект за другим. Вес каждого из объектов определяется как разность двух взвешиваний А = У₂ - У₁ и т. д. с дисперсиями и т. д.

При новом подходе (табл. 6.2) в первых трех опытах последовательно взвешиваются объекты А, В и С; в последнем опыте взвешиваются все три объекта вместе — «холостого» взвешивания не производится. Вес каждого из объектов будет определяться теперь результатами не двух, а всех четырех опытов:

Таблица 6.2

Факторы А В С	Выход (результат взвешивания)
+ -- --	y1
-- + --	y2
-- -- +	y3
+ + +	y4

Дисперсии результатов опыта будут:

Следовательно, при традиционном подходе к задаче нужно будет поставить в два раза больше опытов, чтобы получить вес объектов с такой же точностью, как при новом методе планирования.