Метод Лагранжа
Применение этого метода возможно в случае непрерывности функции. Этот метод позволяет определить коэффициенты полинома любой степени. Коэффициенты полинома определяются по заданным n точкам с координатами (xi; yi). Число точек n зависит от сложности функции. Чем сложнее профиль кривой, тем на большее число точек его следует разбить. Число разбиений выбирают таким образом, чтобы отрезки кривой между точками можно было заменить на прямые линии. Формула Лагранжа имеет вид:
i, k – номера точек по х и по у соответственно
По заданию необходимо найти полином Лагранжа второй степени. Возьмём за исходные данные три пары точек: (x1,y1), (x4,y4) и (x7,y7). Тогда полином Лагранжа будет иметь вид:
И тогда получим следующее выражение:
Упростив полученное выражение, получаем функцию:
у = 0.00012 ·х2 -0.066·х+17.33
Для наглядности построим график этой функции и отметим исходные семь точек.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
||||||||
|
||||||||
|
||||||||
|
||||||||
|
||||||||
|
||||||||
|
||||||||
|
||||||||
|
||||||||
|
||||||||
|
||||||||
|
||||||||
|
||||||||
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Проведём проверку полученных функций.
Проверим сначала функцию, полученную методом средних:
у = -0,01914 ·х2 + 19,23429·х – 4765,51429
-
x
y
y'
Отклонение
100
12
-6,26
-1,5217
200
9
3,74
0,5844
300
8
23,74
-1,9675
500
14
93,74
-5,6957
600
20
143,74
-6,187
700
30
203,74
-5,7913
800
40
273,74
-5,8435
Затем проверим функцию, полученную с помощью полинома Лагранжа:
у = 0.00012 ·х2 -0.066·х+17.33
-
x
y
y'
Отклонение
100
12
11,93
-0,0058
200
9
8,93
0,0078
300
8
8,33
-0,0413
500
14
14,33
-0,0236
600
20
20,93
-0,0465
700
30
29,93
0,0023
800
40
41,33
-0,0333