Контрольные вопросы

1. Какие способы избавления от имен переменных Вы знаете?

2. Выпишите семантические равенства для категориальной комбинаторной логики

3. Какое из семантических равенств ККЛ позволяет вводить константы?

4. Назовите два способа получения кода КАМ для λ–выражения.

5. Получите двумя способами КАМ-код для выражения (λxy.+ x y)7((λx.x)12) и вычислите его средствами абстрактной машины.

6. Воспользовавшись приведенным кодом, вычислите на КАМ факториал 2.

Смешанные вычисления Процедура смешанных вычислений

Поиск универсальных методов – одна из главных парадигм современной науки. Но более эффективны специализированные методы. Между универсальными и специальными методами существует глубинная связь.

Поскольку ЭВМ - детерминированный автомат, то при фиксированной программе ρ для любого входного данного x выходное значение z будет некоторой функцией φ, полностью определяемой программой ρ φ(x) = z.

Сама программа ρ вместе с ее данными х выполняется посредством интерпретации Int (алгоритм Int встроен в конструкцию ЭВМ).

Int(ρ,x) = φ(x) =z.

Частная задача (более специализированная) возникает тогда, когда мы обладаем некоторой дополнительной априорной информацией относительно исходных данных. Рассматривая задачу от многих аргументов, мы можем сказать, что часть аргументов фиксирована.

Пусть φ = φ(х,y) и x = a - фиксировано;

Тогда φ(а,у) = π(у): Int(π,b) = φ(a,b).

Смешанные вычисления предполагают универсальную процедуру нахождения программы π как функции исходной общей программы; значений ее связанных входных переменных и указанных свободных переменных.

Определение:

Результат смешанных вычислений называется остаточной программой.

Если все входные переменные связаны, то остаточная программа выродится в выдачу результата; если все входные переменные оставить свободными, то остаточная программа совпадет с исходной.

Пример.

[λxy. +xy]

Пусть x=1

[λy. +1y] – специальная программа, прибавляющая к числу 1

х = 1

у = 1

Специальная программа будет выдавать результат.

а¹⁶=(((а²) ²) ²)² - т.е. вместо 16 умножений будем иметь только 4 умножения.

Обычные и смешанные вычисления связаны друг с другом. Обычные вычисления –процедура Int, которая для любой программы ρ и заданных значений всех ее входных переменных вычисляет значение функции φ, реализуемой программой.

Определение:

Смешанные вычисления - универсальная процедура Mix, которая для любой программы, заданных значений ее связанных переменных и указанных свободных входных переменных вычисляет остаточную программу.

Int(p;a,b) = φ(a,b)

Mix(p,a,b) = out(с), где с = φ(a,b)

Mix(p,0,{x,y}) = p

Mix(p,a,y) = pa, где Int(pa,b) = φ(a,b).

Традиционно способ описания работы программы заключается в систематическом чтении программного текста и выделении последовательности базисных команд, которые выполняют фактическую обработку информации.

Эта последовательность базисных команд называется протоколом вычисления.

Протокол по своей записи сам является выполняемой программой и может применяться к некоторому разнообразию входных данных; при этом условные выражения должны заменяться на предикаты (которые должны принять истинное значение).

λх.if x=0 ERR 3/x _{↓предикат}

Протокол: (zerop x) ERR

Not (zerop x) 3/x

Определения:

Предикат - функция одного аргумента, принимающая значение истина или ложь.

Протокол, порождаемый какими-либо данными, противоречит любым данным, порождающим некоторый другой протокол.

Выполнение программы можно рассматривать как двухэтапный процесс декомпозиции.

1) Извлечение базисных команд, образующих протокол;

2) Выполнение базисных команд, образующих протокол (т.е. прямые вычисления).

Множество протоколов возникает из-за разных выборов альтернатив при проверке условий. Это множество протоколов называется детерминантом программы.

Выполнение программы - передача ее входных данных всем протоколам детерминанта. (Все протоколы противоречивы – функция невычислима, результат неизвестен; существует несколько непротиворечивых протоколов – функция многозначна; существует единственный непротиворечивый протокол – он выдает результат выполнения программы).

Протокол - линейная запись команд; при выполнении очередной команды она редуцируется (убирается).

Предположим, у нас определены некоторые входные переменные, часть протоколов отсечется из-за противоречивости; в оставшихся - часть команд редуцируется. Если получить программный текст, детерминант которого совпадает с оставшимся детерминантом, то, фактически, мы получим остаточную программу. Основное препятствие реализации метода - то, что не каждый детерминант соответствует какой-то программе, для этого он должен принадлежать классу автоматных множеств. Поэтому надо организовать процесс частичной редукции так, чтобы в любой момент находиться в пределах некоторого программного текста, который и будет считаться результатом специализации универсальной программы.

Определим частичные вычисления:

1) выполним программу для не полностью заданных значений переменных;

2) будем печатать те команды, которые нельзя выполнить из-за отсутствия информации (в том числе нередуцируемые альтернативы и присваивания, нераскрытые итерации). Последовательность невыполненных команд образует остаточную программу.

Детерминант остаточной программы - некоторое непротиворечивое расширение редукции детерминанта исходной программы.

Вычисления смешанные потому, что чередуются шаги обычных вычислений и формирования остаточных программ.