Оптимизация кода кам

Два вида оптимизации:

переход к многоместным операциям, т.е. вместо функции “+”, которая будет брать аргументы по очереди, рассмотрим двуместный “+”.

а) App○< App○<’+,x>,y> = +<x,y>

б) Воспользуемся категориальным равенством для β-редукции.

App○<Λ(х)○у, z> = x○<y,z>

{(λx.y)z→[z/x]y – соответствующее категориальное равенство.}

Дополнительные функциональные инструкции

Терм	Код	Стек	Терм	Код	Стек
True	If a b c	sm	S	a c	m
False	If a b c	sm	S	b c	m
(a,b)	add c	S	{a+b}н. число	C	S
(a,b)	eq C	S	True/False	C	S

Пример. push quote 2 swap quote 3 cons add(пример сложения 2 и 3).

Рекурсия в кам

Две инструкции: dum c,wind c.

Терм	Код	Стек	Терм	Код	Стек
t	dum c	S	$Y	C	S
[a:b]	wind c	(t$Y)S	(t.[a:b])	C	S

wind – аппликация для работы с объектами (вида ) – рекурсивными

Схема трансляции терма расширенного λ-исчисления в код КАМ

lambda x M→(cur[M](ρ,x))

^(λx.M) M транслируется в среде ρ, расширенной переменной х.

app AB→(push)|[A]ρ|(swap)|[B] ρ|(cons app)

| - слияние списков

(ab)|(cde) → (abcde)

[ ] - транслирование в среде.

_{↓подстановка}

let x=M in N →(push)|[M]ρ|(cons)|[N]( ρ,x)

_{↓рекурсивная}

letrec x=M in N→(push dum cons push)|[M]( ρ,x)|(wind)|[N]( ρ,x)

quote c→( quote c)

cons AB→(push)|[A]ρ|(swap)|[B]ρ|(cons)

Fst A→[A]ρ|(Fst)

Snd A→[A]ρ|(Snd)

If C A B→(push)|[C]ρ|(if [A]ρ[B]ρ)

eq A B→(push)|[A] ρ|(swap)|[B]ρ|(cons eq)

+AB→(push)|[A] ρ|(swap)|[B]ρ|(cons add)

*AB→(push)|[A] ρ|(swap)|[B]ρ|(cons mult)

Переменные получаются из среды с помощью композиции операций Fst и Snd.

Пример. ((lambda x(+x1))3)]()

Начинаем транслировать в пустой среде:

[((lambda x (+x1))3)]()

Транслируем аппликацию:

(push)|[lambda x (+x1))]( )|(swap)|[3]( )|(cons app)

трансляция [3]( ) → quote 3

(push)|[(lambda x (+x1))]( )|(swap quote 3 cons app)

среда для трансляции (+х1) расширилась до (( ),x):

(push)|(cur [+x1](( ),x))|(swap quote 3 cons app)

(push cur [+x1](( ),x)swap quote 3 cons app )

транслируем сложение

(push cur(push|[x](( ),x)|(swap)|[1](( ),x)|(cons add))swap quote 3 cons app

(push cur(push Snd swap quote 1 cons add)swap quote 3 cons app)

App○<x,y>=<x,y>App

Пример вычисления выражений на кам

Пример. (λх.х4((λх.х)3))+

App○< Λ(App○<App○<App<Snd,'4>,App○< Λ(Snd),'3>>),'+>

Терм	Код	Стек
( )	<Λ(<<Snd,'4>app,<Λ(Snd),'3>app>app),'+>app	[ ]
( )	Λ(<<Snd,'4>app,<Λ(Snd),'3> └──A────┘└──B─── app‫ >app),'+>app	( )
[<A,B>app:( )]	, Λ(Snd'+)>app	( )
( )	Λ(Snd'+)>app	[<A,B>app:( )]
[Snd'+;( )]	>app	[<A,B>app:( )]
[<A,B>app:( )], [Snd'+;( )]	app	[ ]
(( ),[Snd'+:( )] )	<A,B>app	[ ]
(( ),[Snd'+:( )] )	A,B>app	(( ),[Snd'+:( )] )
(( ),[Snd'+:( )] )	Snd,'4>app,B>app	(( ),[Snd'+:( )] );(( ),[Snd'+:( )] )
[Snd'+:()]	,'4>app,B>app	(( ),[Snd'+:( )] );(( ),[Snd'+:( )] )
(( ),[Snd'+:( )] )	'4>app,B>app	[Snd'+:( )];(( ),[Snd'+:( )] )
4	>app,B>app	[Snd'+:( )];(( ),[Snd'+:( )] )
([Snd'+:( )],4)	app,B>app	(( ),[Snd'+:( )] )
(( ),4)	Snd'+,B>app	(( ),[Snd'+:( )] )
4	+,B>app	(( ),[Snd'+:( )] )
{+ 4}	,B>app	(( ),[Snd'+:( )] )
(( ),[Snd'+:( )] )	B>app	{+ 4};(( ),[Snd'+:( )] )
(( ),[Snd'+:( )] )	Λ(Snd),'3>app>app	(( ),[Snd'+:( )] );{+ 4}
(Snd:( ),[Snd'+:( )] ))	,'3>app>app	(( ),[Snd'+:( )] );{+ 4}
(( ),[Snd'+:( )] )	'3>app>app	(Snd:( ),[Snd'+:( )] )) + 4
3	>app>app	(Snd:( ),[Snd'+:( )] )) + 4
[(Snd: (( ),[ ])),3]	app>app	+ 4
[(( ),[Snd'+: ( )] ),3]	Snd>app

Вычислим факториал на КАМ

ƒact 1

ƒact x: if x=0 then 1 else x* ƒact(x-1)

ƒact 1:[letrec [ ƒac=λx.if(eq x’0)’1(*x(app ƒac(-x’1)))] in (app ƒac’1) ] ( )

( push dum cons push)|[ λx. if(eq x’0)’1 (*x(app ƒac(-x’1)))](( ).ƒac)|(wind)|[(app ƒac’1)] ( ( ).ƒac)

( push dum cons push)|(cur[if(eq x’0)’1 (*x(app ƒac(-x’1)))](( ).ƒac)|(wind)|

|(push)|[ ƒac](( ). ƒac)|(swap)|[‘1](( ). ƒac)|(cons app)

_{↓начало каррирования}

( push dum cons push cur((push)|[(eq x'0)]((( ).ƒac).x)|(if [1’]((( ) .ƒac).x)[(*x(app

ƒac (-x’1)))]((( ).ƒac)x.)) wind push snd swap quote 1 cons app)

^{↑закончилось каррирование}

( push dum cons push cur^|((push)|(push) Snd swap quote 0 cons eq )|

|(if (quote 1)(push snd swap)|[app ƒac(-x’1))]((( ).ƒac).x)|(cons mult)))^| wind push

s nd swap quote 1 cons app)

Оттранслируем аппликацию :

(push)|[ ƒac]((( ). ƒac).x)|(swap)|[(-x’1)]((( ). ƒac).x)|(cons app)→(push Fst Snd swap push Snd swap push Snd swap quote 1 cons sub cons app)

Подставляем это выражение и получаем окончательный результат:

( push dum cons push cur^|(push push snd swap quote 0 cons eq if (quote 1)(push Snd swap push Fst Snd swap push Snd swap quote 1 cons sub cons app cons mult))^|

wind push Snd swap quote 1 cons app)

В сокращенном виде:

↓_wind

<Y><Λ^|(<<S,’0>=if(‘1)(<S,<FS,<S,’1>->app>*))^|appY<S,’1>app)

↑^{cпециальная аппликация для Y}

На каждом этапе транслировались самые внешние выражения.