2. Глава 4. Классификация картографических проекций

Картографические проекции классифицируются по характеру искажений, по виду вспомогательной поверхности, по виду нормальной сетки (меридианов и параллелей), по ориентировке вспомогательной поверхности относительно полярной оси и др. [4].

4.1. Классификация проекций по характеру искажений

По характеру искажений проекции разделяют на произвольные, равновеликие, равноугольные и равнопромежуточные [5].

Произвольная картографическая проекция – картографическая проекция, в которой имеются искажения всех видов.

Равновеликая картографическая проекция – картографическая проекция, в которой отсутствуют искажения площадей.

Равноугольная картографическая проекция – картографическая проекция, в которой отсутствуют искажения углов.

Равнопромежуточная картографическая проекция – произвольная картографическая проекция, в которой одинаковы влияния искажений углов и площадей.

Приведенная классификация является одной из основных и наиболее важных. Недостатком классификации является то, что она из огромного множества произвольных проекций выделяет, в сущности, три частных случая: два крайних – равноугольные и равновеликие проекции, и один случай посередине между ними – равнопромежуточные проекции.

В практических целях данная классификация часто детализируется –вводятся дополнительные ступени, количество которых может быть любым. Обычно применяется пятиступенчатая шкала.

1. Равновеликие проекции.

2. Проекции с небольшими искажениями площадей, стоящие посередине между равновеликими и равнопромежуточными проекциями.

3. Равнопромежуточные проекции.

4. Проекции с небольшими искажениями углов, стоящие посередине между равнопромежуточными и равноугольными проекциями.

5. Равноугольные проекции.

По мере движения от первой ступени к пятой искажения площадей нарастают, а искажения углов убывают.

Недостатком многоступенчатых классификаций является отсутствие количественных характеристик, четко отделяющих одну ступень от другой. В 70-х годах XX в. Г. И. Конусова в целях разделения этих ступеней предложила локальный критерий. Этот критерий является угловой величиной. Назовем его углом классификации. Угол классификации вычисляется следующим образом:

[3]

В формуле под знаком арктангенса стоит дробь. В числителе дроби находится величина, характеризующая локальное искажение формы, а следовательно, и локальное искажение углов, в знаменателе – локальное искажение площадей.

Рассмотрим эту формулу подробнее. В равноугольных проекциях в любой точке карты частный масштаб длин не зависит от направления, a=b, и поэтому = 0. В равновеликих проекциях частный масштаб площади р = ab = 1, следовательно, = π/2 [12].

В равнопромежуточных проекциях влияния искажений форм (углов) и площадей одинаковы, в формуле числитель равен знаменателю, = π /4.

Поэтому количественная оценка разделения проекций по характеру искажений на отдельные ступени на основе величины угла классификации а производится следующим образом: = 0 – равноугольные проекции; = π /4 – равнопромежуточные проекции; = π/2 – равновеликие проекции; 0< <π/2- произвольные проекции.

Для отделения одной ступени от другой углу классификации должны быть предписаны конкретные граничные значения. Пример построения классификации с девятью ступенями дан в табл. 4.1.

Таблица 4.1

Классификация проекций по характеру искажений [12]

Угол классификации α,˚	Характер искажений проекции
α=0	Равноугольная
0<α<=1	Практически равноугольная
1<α<42	Между равноугольной и равнопромежуточной
42=<α<=45	Практически равнопромежуточная
α=45	Равнопромежуточная
45<α<=48	Практически равнопромежуточная
48<α<=89	Между равнопромежуточной и равновеликой
89<α<90	Практически равновеликая
α=90	Равновеликая

Как и прежде, выделены главные частные случаи: равноугольные, равнопромежуточные или равновеликие проекции. Так как значение вычисленного угла а может быть отягощено погрешностями, то в этой классификации предусмотрены зоны, сопровождаемые вербальными характеристиками: «практически равновеликие», «практически равноугольные» или «практически равнопромежуточные». Остаются довольно широкие полосы, куда умещаются проекции, расположенные между равноугольными и равнопромежуточными, а также находящиеся между равнопромежуточными и равновеликими.

Разумеется, может быть принят и иной подход к выбору граничных значений угла классификации.

Недостатком изложенной теории является то, что угол классификации есть локальная характеристика. В произвольных проекциях он изменяется от точки к точке. В одних местах эта проекция может быть равноугольной, в других –равновеликой и т.п.

Для определения характера искажений в пределах значительной части проекции или даже всей карты можно воспользоваться показателями вариационного типа. В 80-х годах XX в. Е. Ю. Баева предложила вычислять угол классификации, заменив локальные единичные показатели суммами их абсолютных значений, определенных в разных точках исследуемой области карты.

Очевидно, могут быть применены и другие показатели вариационного типа. Для этого изучаемую область карты разделяют на более мелкие участки. Для каждого участка вычисляются локальные показатели искажений формы (углов) и искажений площадей. Затем вычисляются их средние квадратические значения. Тангенс угла классификации находится делением среднего квадратического искажения форм на среднее квадратическое искажение площадей.

Для приближенных оценок угла классификации можно использовать статистические данные, получаемые из анализа искажений кругов небольших размеров, построенных на поверхности отображаемого шара. В формуле для вычисления угла классификации под знаком арктангенса в числитель следует подставить отклонение от единицы коэффициента стереографичности (v_j, а в знаменатель – относительное искажение площади этого круга (v_F) [12].

Деление проекций только по углу классификации не является достаточным. Такая классификация дает представление о соотношениях искажений, но ничего не сообщает о величинах этих искажений. Предположим, что искажения площадей в два раза больше искажений форм. Тогда, как легко подсчитать, угол классификации α = 26,5°. Наоборот, если искажения форм в два раза больше искажений площадей, то α = 63,5°.

В связи с этим дополнительно нужна классификация по величинам искажений. Она может по величине искажений быть построена на основе нижеизложенных соображений.

Для решения с помощью карт научно-технических задач требуется максимальная точность. Искажения форм и площадей должны быть «очень малыми», менее 1 % [12].

На практике широко используются карты с искажениями форм и площадей до 3 %. Во многих случаях географической практики приемлемыми оказываются искажения, характеризуемые величинами, не выходящими за пределы 5 %. Поэтому искажения до 5 % включительно можно квалифицировать как «малые».

Для обеспечения точности визуальных оценок необходимо, чтобы величины искажений не превышали 10 %. Такого порядка искажения можно назвать «небольшими».

Дальнейшая градация величин искажений уже имеет относительное значение. Чем больше искажения, тем меньше похожи контуры на карте на свои оригиналы в природе. Однако пользователь способен распознать объекты на карте даже при очень значительной их деформации. Поэтому условно может быть применена классификация значимости величин искажений площадей, длин и форм, указанная в табл. 4.2

Таблица 4.2

Таблица. 4.2. Классификация участков проекции по величине искажения [12]

Искажения, %	Вербальная оценка искажений
0-1	Очень малые
1-5	Малые
5-10	Небольшие
10-50	Умеренные
50-100	Большие
> 100	Очень большие