Глава 2. Понятие о картографических проекции, уравнения проекции
При переходе от физической поверхности Земли к ее отображению на плоскости (карте) выполняют две операции: проектирование физической поверхности отвесными линиями на поверхность эллипсоида и изображение поверхности эллипсоида на плоскости посредством картографической проекции (рис. 2.1) [4].
Рис. 2.1. Переход от физической поверхности Земли к плоскости [4]
Картографическая проекция – математически определенное отображение поверхности эллипсоида или шара на плоскости карты. Картографической проекцией устанавливается взаимно-однозначное соответствие между прямоугольными координатами (x, у) точек на плоскости и широтами и долготами соответствующих точек на шаре (φ, λ) или на эллипсоиде (В, L). Математически эта взаимосвязь определяется уравнениями картографической проекции [10].
Уравнения картографической проекции – два уравнения, определяющие связь между координатами точек на карте и соответствующих точек на поверхности эллипсоида или шара.
Например, для шара уравнения могут быть записаны следующим образом:
x=f1(φ,λ); y= f2(φ,λ)
φ =F1(x,y); λ=F2(x,y)
Два первых уравнения задают прямое отображение поверхности шара на плоскость; два других – обратное отображение плоскости на шар. Записанные уравнения могут иметь довольно сложный вид. Особенно это относится к функциям обратного отображения.
В дальнейшем предполагается, что на плоскости, как это принято в геодезии и математической картографии, ось абсцисс направлена на карте вверх на север, а ось ординат – вправо на восток. Обычно ось абсцисс совмещается со средним, прямолинейным меридианом карты, или проводится параллельно ему.
К уравнениям картографических проекций предъявляются очевидные математические требования: они должны давать однозначное и в заданной области непрерывное, имеющее геометрический смысл, отображение.
Множество таких уравнений бесконечно, а разнообразие картографических проекций практически неограниченно. Их число ежегодно продолжает увеличиваться.
Важной составляющей частью уравнений картографических проекций являются их параметры. Изменением параметров можно изменить свойства проекции. Параметры картографической проекции – постоянные величины, входящие в уравнения картографической проекции. Например, радиус ρ альмукантаратов азимутальных проекций определяется уравнением с параметром k:
ρ =kRsin(Z/k)
В зависимости от значения k меняются свойства проекций. При k = 1 имеет место так называемая ортографическая проекция. Если k = 2, то проекция становится равновеликой, в ней площади изображаются без искажений. При дальнейшем увеличении значений этого параметра проекция по своим свойствам будет приближаться к так называемым равнопромежуточным проекциям [12].
Две проекции одного класса, но имеющие разные параметры, могут существенно отличаться своими свойствами. Например, для отображения территории России построено около десятка равнопромежуточных конических проекций. Они отличаются друг от друга своими параметрами.
При отображении временных процессов картографическая проекция также может выступать в качестве динамической переменной. В ходе демонстрации процессов или событий, имеющих различную локализацию и территориальный охват, будут меняться не только главные масштабы, но и проекции. Например, в анимационном сценарии «Земля – континент – конкретная территория» одна проекция неизбежно последовательно сменит другую.