Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
1курс+2сем+1часть13.docx
Скачиваний:
1
Добавлен:
01.05.2025
Размер:
1 Mб
Скачать

Московский Авиационный Институт

(Национальный исследовательский университет)

Иванова Е.П.

Математический анализ

Интегральное исчисление функций одной переменной

Дифференциальное исчисление функций многих переменных

8 факультет

1 курс 2 семестр

(специальность 010501, 230401)

2013 г.

Оглавление

Предисловие

Данное учебное пособие представляет собой конспект лекций второго семестра основного курса математического анализа, читаемого автором на факультете прикладной математики и физики МАИ.

Оно состоит из следующих разделов: интегральное исчисление функций одной переменной и дифференциальное исчисление функций многих переменных.

Обозначения

- пространство действительных чисел;

- следует;

- тогда и только тогда;

- множество функций, непрерывных на ;

- множество функций, непрерывно-дифференцируемых на ;

- множество функций, интегрируемых на ;

Лекция №1 Глава 1. Интегральное исчисление функций одной переменной

1.1. Первообразная. Неопределенный интеграл

Определение 1.1. Пусть задана , .

первообразная для на некотором промежутке, если

на этом промежутке.

Утверждение 1.1. Если и две первообразные для на , тогда .

◄ Пусть

В силу следствия из теоремы Лагранжа: функция равна постоянной тогда и только тогда, когда ее производная равна нулю:

Замечание 1.1. Условие, что и сравниваются на связном промежутке, существенно.

Определение 1.2. Пусть задана , а ее первообразная, тогда неопределенный интеграл, где произвольная постоянная,

подынтегральная функция, подынтегральное выражение.

Свойства интегралов

  1. Линейность

Пусть

◄ Так как .

В то же время поскольку

4. Формула интегрирования по частям:

5. Замена переменной в интеграле

Тогда

Пример 1.1.

  • , то

Существуют интегралы, не выражающиеся в элементарных функциях, например:

  • интегральный синус,

Интегрирование рациональных выражений

многочлены с действительными коэффициентами,

правильная дробь.

(выделили полный квадрат:

Пример 1.2.

Метод неопределенных коэффициентов:

1-ый способ:

Или 2-ой способ:

Пример 1.3.

.

Утверждение 1.1 (основная теорема алгебры). Многочлен с действительными коэффициентами имеет ровно , вообще говоря, комплексных корней.

Утверждение 1.2. Если многочлены с действительными коэффициентами,

правильная дробь.

Тогда существует единственное представление:

Утверждение 1.3. Интеграл от рационального выражения всегда выражается через рациональные функции, логарифм и арктангенс.

◄ В силу утверждения 1.2 остается рассмотреть случаи:

  1. Обозначим

Получаем рекуррентную формулу:

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]