
- •Математический анализ
- •Оглавление
- •Лекция №1 Глава 1. Интегральное исчисление функций одной переменной
- •Свойства интегралов
- •Линейность
- •4. Формула интегрирования по частям:
- •5. Замена переменной в интеграле
- •Интегрирование рациональных выражений
- •Лекция №2
- •1.2. Определенный интеграл Римана
- •Лекция № 3 Важнейшие классы интегрируемых функций
- •Критерий Лебега интегрируемости функции по Риману
- •Критерий Дарбу интегрируемости функций по Риману
- •Лекция №4 Свойства интеграла Римана
- •1) Линейность
- •Лекция №5 Интеграл как функция верхнего предела интегрирования
- •Формула замены переменных и интегрирование по частям в определённом интеграле
- •Лекция №6 Геометрические приложения определённого интеграла
- •Площадь криволинейной трапеции
- •Объём тела вращения
- •Длина пути
- •Площадь поверхности тела вращения
- •Лекция №7
- •1.3. Несобственный интеграл
- •Свойства несобственного интеграла
- •Исследование сходимости несобственных интегралов
- •Лекция №8 Признаки сходимости Абеля и Дирихле
- •Несобственные интегралы с несколькими особенностями
- •Интеграл в смысле главного значения
Московский Авиационный Институт
(Национальный исследовательский университет)
Иванова Е.П.
Математический анализ
Интегральное исчисление функций одной переменной
Дифференциальное исчисление функций многих переменных
8 факультет
1 курс 2 семестр
(специальность 010501, 230401)
2013 г.
Оглавление
Предисловие
Данное учебное пособие представляет собой конспект лекций второго семестра основного курса математического анализа, читаемого автором на факультете прикладной математики и физики МАИ.
Оно состоит из следующих разделов: интегральное исчисление функций одной переменной и дифференциальное исчисление функций многих переменных.
Обозначения
-
пространство действительных чисел;
- следует;
-
тогда и только тогда;
- множество функций, непрерывных на
;
- множество функций,
непрерывно-дифференцируемых на
;
-
множество функций, интегрируемых на
;
Лекция №1 Глава 1. Интегральное исчисление функций одной переменной
1.1. Первообразная. Неопределенный интеграл
Определение 1.1. Пусть задана
,
.
первообразная для
на некотором промежутке, если
на этом промежутке.
Утверждение
1.1. Если
и
две первообразные для
на
,
тогда
.
◄ Пусть
В силу следствия из теоремы Лагранжа:
функция равна постоянной тогда и только
тогда, когда ее производная равна нулю:
►
Замечание 1.1. Условие, что
и
сравниваются на связном промежутке,
существенно.
Определение 1.2. Пусть задана
,
а
ее первообразная, тогда
неопределенный интеграл, где
произвольная постоянная,
подынтегральная функция,
подынтегральное выражение.
Свойства интегралов
Линейность
Пусть
◄ Так как
.
В то же время
поскольку
►
◄
►
4. Формула интегрирования по частям:
◄
►
5. Замена переменной в интеграле
Тогда
◄
►
Пример 1.1.
, то
Существуют интегралы, не выражающиеся в элементарных функциях, например:
интегральный синус,
Интегрирование рациональных выражений
многочлены
с действительными коэффициентами,
правильная дробь.
(выделили полный квадрат:
Пример 1.2.
Метод неопределенных коэффициентов:
1-ый способ:
Или
2-ой способ:
Пример 1.3.
.
Утверждение 1.1 (основная теорема
алгебры). Многочлен
с действительными коэффициентами имеет
ровно
,
вообще говоря, комплексных корней.
Утверждение 1.2. Если
многочлены
с действительными коэффициентами,
правильная дробь.
Тогда существует единственное представление:
Утверждение 1.3. Интеграл от рационального выражения всегда выражается через рациональные функции, логарифм и арктангенс.
◄ В силу утверждения 1.2 остается рассмотреть случаи:
Обозначим
Получаем рекуррентную формулу:
►