Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
1+курс +2семе+2 часть13.doc
Скачиваний:
0
Добавлен:
01.05.2025
Размер:
2.88 Mб
Скачать

Касательная плоскость к поверхности заданной неявно

Пусть , , . Множество решений этого уравнения поверхность в Точка , , ,

.

Из уравнения касательной плоскости к поверхности, заданной уравнением

получаем уравнение касательной плоскости к поверхности заданной неявно:

.

Уравнение задает в окрестности некритической точки поверхность и уравнение касательной к этой поверхности в точке имеет вид

.

Лекция № 20 Поверхность размерности k в

Определение 2.48. Множество называется гладкой поверхностью размерности в , если (f – диффеоморфизм) при котором окрестность отображается в куб :

Степень гладкости поверхности будем измерять степенью гладкости lдиффеоморфизма

Замечание 2.5. Множество – называется гладкой поверхностью, если и координаты в ней, что в этих координатах задается соотношением

Пример 2.22.

1. – мерная поверхность в класса

.

2. – гиперплоскость ;

3. – -мерная гиперплоскость;

4. – куб в ;

5. .

Пример 2.23. График, определяемый в гладкой функцией, является - ой поверхностью,

Определение 2.49. Множество – называется гладкой поверхностью размерности в , если , ( – диффеоморфизм).

Определение 2.50. Отображение , осуществляющее указанный диффеоморфизм, называется локальной картой поверхности,

– область действия параметров,

область действия карты.

Локальная карта вводит криволинейные координаты , сама k-мерная поверхность локально – диффеоморфизм k-мерного куба.

Если всю поверхность можно задать единой картой, то поверхность называется элементарной.

Набор локальных карт, покрывающих всю поверхность, называется атласом поверхности

Утверждение 2.19. Определения 2.48 и 2.49 эквивалентны

◄ Опр. 2.48. Опр. 2.49.

Задано локальная параметризация,

2. Опр. 2.49. Опр. 2.48.

Пусть

диффеоморфизм, Пусть

по теореме о системе неявных функций существует гладкая функция

диффеоморфизм, поверхность задана уравнениями ►

Утверждение 2.20.

или

Пусть S – решение системы. Тогда, если , то S является гладкой поверхностью размерности k в .

◄ По теореме о системе неявных функций

Мы получили определение 2.48. поверхности. ►

Касательное пространство

Пусть S – поверхность размерности k в ,S: диффеоморфизм; ;

Определение 2.51. Пусть – поверхность размерности k в , тогда уравнение

(2.2)

– уравнение касательного пространства к поверхности S в точке заданное параметрически.

, (2.3)

– уравнение касательного пространства в координатной форме.

– обозначение касательного пространства к поверхности S в точке х.

(2.4)

Пусть система уравнений (2.4) имеет решение, задаёт поверхность размерности k: .

Обозначим , тогда – запись системы в векторной форме.

Применяя теорему о неявной функции, получаем

(2.5)

– уравнение касательного пространства в векторной форме. Это уравнение эквивалентно векторному уравнению

, (2.6)

– уравнение касательной поверхности в точке

– касательное пространство векторов удовлетворяющих (2.6).

Утверждение 2.21. касательное пространство к поверхности S в точке х состоит из векторов , которые являются касательными векторами к кривым, проходящим через точку x и принадлежащим S.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]