Касательная плоскость к поверхности заданной неявно
Пусть
,
,
.
Множество решений этого уравнения
поверхность в
Точка
,
,
,
.
Из уравнения касательной плоскости к
поверхности, заданной уравнением
получаем уравнение касательной плоскости к поверхности заданной неявно:
.
Уравнение
задает в окрестности некритической
точки
поверхность и уравнение касательной
к этой поверхности в точке
имеет вид
.
Лекция № 20 Поверхность размерности k в
Определение 2.48. Множество
называется гладкой поверхностью
размерности
в
,
если
(f – диффеоморфизм)
при котором окрестность
отображается в куб
:
Степень гладкости поверхности
будем
измерять степенью гладкости lдиффеоморфизма
Замечание 2.5. Множество
– называется гладкой поверхностью,
если
и
координаты
в ней, что
в
этих координатах задается соотношением
Пример 2.22.
1.
–
– мерная поверхность в
класса
.
2.
– гиперплоскость
;
3.
–
-мерная
гиперплоскость;
4.
– куб в
;
5.
.
Пример 2.23. График, определяемый в
гладкой
функцией, является
-
ой поверхностью,
Определение 2.49. Множество
– называется гладкой поверхностью
размерности
в
,
если
,
(
– диффеоморфизм).
Определение 2.50. Отображение , осуществляющее указанный диффеоморфизм, называется локальной картой поверхности,
– область действия параметров,
– область действия карты.
Локальная карта
вводит криволинейные координаты
,
сама k-мерная поверхность
локально – диффеоморфизм k-мерного
куба.
Если всю поверхность можно задать единой картой, то поверхность называется элементарной.
Набор локальных карт, покрывающих всю
поверхность, называется атласом
поверхности
Утверждение 2.19. Определения 2.48 и 2.49 эквивалентны
◄ Опр. 2.48. Опр. 2.49.
Задано
локальная
параметризация,
2. Опр. 2.49. Опр. 2.48.
Пусть
диффеоморфизм,
Пусть
по теореме о системе неявных функций
существует гладкая функция
диффеоморфизм,
поверхность
задана уравнениями
►
Утверждение 2.20.
или
Пусть S – решение
системы. Тогда, если
,
то S является гладкой
поверхностью размерности k
в
.
◄ По теореме о системе неявных функций
Мы получили определение 2.48. поверхности. ►
Касательное пространство
Пусть S –
поверхность размерности k
в
,S:
диффеоморфизм;
;
Определение 2.51. Пусть
–
поверхность размерности k
в
,
тогда уравнение
(2.2)
– уравнение касательного пространства
к поверхности S в
точке
заданное параметрически.
,
(2.3)
– уравнение касательного пространства в координатной форме.
–
обозначение касательного пространства
к поверхности S в
точке х.
(2.4)
Пусть система уравнений (2.4) имеет
решение, задаёт поверхность размерности
k:
.
Обозначим
,
тогда
– запись системы в векторной форме.
Применяя теорему о неявной функции, получаем
(2.5)
– уравнение касательного пространства в векторной форме. Это уравнение эквивалентно векторному уравнению
,
(2.6)
– уравнение касательной поверхности
в точке
–
касательное пространство векторов
удовлетворяющих (2.6).
Утверждение 2.21.
касательное пространство к поверхности
S в точке х
состоит из векторов
,
которые являются касательными векторами
к кривым, проходящим через точку x
и принадлежащим S.