Лекция №13 Дифференциал функции многих переменных f :

Пусть , , , .

Определение 2.26. назовем приращением функции

– приращением аргумента.

Определение 2.27. Линейная функция от называется дифференциалом функции в точке если приращение функции

,

x) – линейная относительно x функция,

| x | = , x =( ).

Функция называется дифференцируемой в точке если существует дифференциал.

) = отображение – линейное.

Если

Дифференциалом называется главная линейная (относительно приращения аргумента) часть приращения функции.

Утверждение 2.13. Если f – дифференцируема в точке а f – непрерывна в а.

◄ – непрерывна. ►

Утверждение 2.14. Пусть дифференцируема в точке

координатные функции дифференцируемы в точках

и

◄ В силу дифференцируемости .

Пусть

.►

Определение 2.28.

– частная производная функции по переменной

Утверждение 2.15 (необходимое условие дифференцируемости).

Если f – дифференцируема в точке а (все частные производные) и

Если

Пример 2.13.

, ,

Теорема 2.8 (достаточное условие дифференцируемости).

Пусть в и – непрерывны в точке дифференцируема в точке а.

◄ Рассмотрим случай двух переменных.

=

(по формуле Лагранжа)

= =

Здесь ►

Пример 2.14.

, . Аналогично

? Если функция дифференцируема в то При получаем . Следовательно, функция не дифференцируема в хотя имеет частные производные.

Теорема 2.9 (дифференцирование сложной функции).

Пусть , ,

дифференцируема в точке , дифференцируема в точке

дифференцируема в точке и

,

= – производная сложной функции.

◄ , ;

=

+ y|) ►

Утверждение 2.16. В условиях теоремы .

Следствие 2.1 (инвариантность формы 1-ого дифференциала).

Форма 1-ого дифференциала не изменяется от того, что независимые переменные являются функциями:

.

Следствие 2.2 (правила дифференцирования).

1) ,

2) ,

3) .

◄ 2) .►

Лекция №14 Производная по направлению. Градиент.

Пусть – вектор из , ; , – направляющие косинусы;

f : ³ – дифференцируемая функция в точке

; ,

Определение 2.31. называется производной по направлению в точке

– производная по направлению .

Определение 2.32. Пусть – дифференцируемая, вектор называется градиентом функции ( – набла), ,

тогда .

Свойства градиента

1. Производная по направлению есть проекция градиента на это направление.

2. Вектор градиента указывает направление наибольшего возрастания функции.

Максимальное значение производной по направлению равно длине вектора градиента и достигается на ; (геометрический смысл градиента).

Скорость возрастания функции в направлении градиента наибольшая.

3. 

4. Пусть направление (ненормированное) .