1. Адаптивная (аддитивная)

Y(t) = T(t) +S(t) + F(t)

t - номер временного интервала

T(t) – тренд развития (долговременная тенденция)

S(t) – сезонная компонента

Е(t) – остаточная компонента

2. Мультипликативная

Y(t) = T(t)*S(t)*F(t)

При односильном постоянстве амплитуды сезонной волны целесообразно использовать аддитивную модель. При изменении амплитуды сезонной волны соответствие с тенденцией среднего уровня используется мультипликативная модель. Иногда используются модели смешанного типа, они дают более точный результат, но содержательно плохо интерпретируются. Применение мультипликативной модели обусловлено тем что в некоторых временных рядах значение сезонной компоненты представляет собой определенную долю трендового значения. Практика показывает что случаи, когда сезонные колебания исследуемого процесса велики и не очень стабильны, мультипликативная модель дает плохие результаты. Сезонная компонента характеризует устойчивые и внутригодичные колебания уровней – она проявляется в некоторых показателях представленных квартальными или месячными данными.

В прогнозировании также применяются модели кривых роста.

Кривые роста – математические ф-ии предназначенные для аналитического выравнивания временного ряда.

Для описания кривых роста используются следующие функции

1. Прямая Y(t) = a+bt

2. Парабола Y(t) = a+bt =ct2

3. Гипербола Y(t) = a +b/t

4. Степенная

5. Показательная

6. Логарифмическая

7. Кривая Джонсона

8. Модифицированная экспонента

Сглаживание временных рядов.

Выявление основной тенденции развития называется выравниванием или сглаживание временного ряда. Методы выявления основной тенденции – это методы выравнивания.

Один из наиболее простых приемов обнаружения общей тенденции развития явления – это укрупнение интервала динамического ряда. Для выявления тенденций развития используется метод скользящего среднего или метод экспоненциального сглаживания. Оба метода субъективны в отношении выбора параметров сглаживания. И именно в корректном выборе параметров проявляется интуиция исследователя.

Метод скользящего среднего – крайне субъективен и на результаты сглаживания сильно влияет длина периода сглаживаний. При небольших периодах не удается выявить трендовую компоненту. При больших периодах происходят значительные потери данных на концах анализируемого интервала.

Скользящая средняя порядка L – это временной ряд состоящий из среднеарифметических и среднеарифметических L в соседних значениях функции Y по всем возможным значениям времени. В качестве L – нечетное число, 3, 5,7 - трехточечные, пятиточечные и семиточечные.

Трехточечная схема: среднее значение будет рассчитываться по 3м значениям Yi, одно из которых относится к прошлому периоду, второе к искомому и 3 к будущему периоду. При i = 1 не существует прошлого значение, то в первой точке невозможно рассчитать сглаженное значение. При i = 2 то среднее значение будет средним арифметическим.

В последней точке исходного интервала скользящее среднее также невозможно рассчитать из-за отсутствия будущего значения по отношению к рассчитываемому.

год	Номер интервала	Объем перевозок	Схема сглаживания
			3 точки	5 точек	7 точек
1980	1	5,3	-	-	-
1981	2	7,8	5,3+7,8+ 7,8\3 = 6,69	-	-
1982	3	7,8	8,1 = 7,8,+7,8+8,7\3	5,3+7,8+7,8+ 8,7+6,7 = 7,260	-
1983	4	8,7	7,733	7,52	5,3+7,8+7,8+8,7 +6,7+6,6+8,6\7 = 7,357
1984	5	6,7	7,333	7,68	7,900
1985	6	6,6	8,1	7,94	8,143
1986	7	8,6	9,0	8,1	8,314
1987	8	9,1	9,06	8,56	8,086
1988	9	9,5	9,2	8,66	8,100
1989	10	9,0	8,533	8,3	8,043
1990	11	7,1	7,633	7,72	7,929
1991	12	6,8	6,7	7,38	7,814
1992	13	6,2	6,933	7,24	7,786
1993	14	7,8	7,433	7,68	7,729
1994	15	8,3	8,467	8,04	7,829
1995	16	9,3	8,733	8,36	8,014
1996	17	8,6	8,567	8,42	8,257
1997	18	7,8	8,167	8,34	8,214
1998	19	8,1	7,933	7,98	8,029
1999	21	7,9	7.833	7,66	-
2000	22	7,5	7,467	7,54	-
2001	23	7,0	7,233	-	-
2002	24	7,2	-	-	-

Метод экспоненциального сглаживания – в отличие от скользящего среднего может быть использован для краткосрочным прогнозов в будущей тенденции на один период вперед. Именно поэтому метод обладает явным преимуществом перед предыдущим.

Алгоритм расчета сглаженных значений в любой точке ряда основан на 3х величинах: наблюдаемом значении Yi в данной точке, рассчитанном сглаженном значении для предшествующей точки ряда и некоторым заранее заданным коэффициентам сглаживания, постоянным по всему ряду.

Fi = α*Yi +(α-1)*Fi

Yi –фактическое значение итой точки ряда.

Сглаженное значение для предшествующей точки ряда - (альфа-1)

Альфа может принимать любые значения от 0 до1, но обычно на практике ограничиваются интервалом от 0,2 до 0.5

Год (ujl)	Номер интервала	Объем перевозок	Коэффициент альфа
			0,5	0,33	0,25
1980	1	5,3	5,3	5,3	5,3
1981	2	7,8	6,55	6,133	5,925
1982	3	7,8	7,175	6,689	6,394
1983	4	8,7		7.359	6,97
1984	5	6,7	7,319	7,14	6,903
1985	6	6,6	6,959	6,96	6,827
1986	7	8,6	7,78	7,506
1987	8	9,1	8,44	8,038	7.728
1988	9	9,5	8,97	8,525	8,171
1989	10	9,0	8,985	8,683	8,378
1990	11	7,1	8,042	8,156
1991	12	6,8		7,704	8,059
1992	13	6,2		7,202
1993	14	7,8	7,305	7,402	7,358
1994	15	8,3	7,803	7,701	7.468
1995	16	9,3	8,551	8,234	7,676
1996	17	8,6		8,356	8,082
1997	18	7,8	8,188	8,171	8,212
1998	19	8,1	8,144	8,147	8,109
1999	21	7,9	8,022	8,065	8,07
2000	22	7,5	7,761	7,877	8,055
2001	23	7,0	7,380	7,584	7,916
2002	24	7,2	7,29	7,456	7,987

Берем последнее значение и переносим его на последний интервал 7,27 - прогнозное значение.

Схема расчета для прогноза: новый прогноз = прогноз прошлого периода + коэффициент альфа*( текущее значение прошлого периода – прогноз прошлого периода)

Fi = Fi-1 + α*(Yi-1 – Fi-1)

Экспоненцальное сглаживание (из семинара) : Экспоненциальное сглаживание.

Значения прогнозных величин зависит от показателей последних уровней временного ряда. Поэтому для достижения большей эффективности прогноза целесообразно этим уровням придавать наибольший вес. В тоже время более ранние уровни временного ряда не стоит исключать из внимания, так как они несут определенную информацию о перевозках пассажиров. Однако этим более ранним наблюдениям целесообразно придавать меньшие веса по сравнению с более поздними наблюдениями. Этим принципам отвечает метод экспоненциального сглаживания, разработанный Брауном. Сущность метода заключается в том, что временно ряд сглаживается с помощью взвешенной скользящей средней, в которой веса подчиняются экспоненциальному закону. Взвешенная скользящая средняя является средней характеристикой средних уровней ряда. Это свойство используется для прогнозирования.

Лекция 6.03.2010