3. Область сходимости степенного ряда

Множество всех точек сходимости степенного ряда называется его областью сходимости. Поскольку степенной ряд всегда сходится при , то его область сходимости содержит по крайней мере одну точку ( ). Область сходимости степенного ряда состоит из одной точки ( ), если радиус его сходимости равен нулю ( ).

Если радиус сходимости степенного ряда равен ( ), то область его сходимости будет совпадать с интервалом сходимости . Так, для ряда , рассмотренного в примере 35.3., областью сходимости является .

Если радиус сходимости степенного ряда отличен от нуля и ( ), то область сходимости данного ряда либо совпадает с его интервалом сходимости, либо получается из этого интервала добавлением одной или обеих граничных точек. Это решается дополнительным исследованием сходимости степенного ряда на концах интервала сходимости.

Пример 35.4. Найдите область сходимости степенного ряда .

Решение. Выясним, чему равен радиус сходимости данного степенного ряда. Искать его будем по формуле: , где . Для этого:

1. найдём коэффициент : ;

2. найдём коэффициент : ;

3. найдём отношение коэффициентов : .

Таким образом, получим (при раскрытии неопределённости использовали правило Лопиталя). Следовательно, так как , а , .

Радиус сходимости степенного ряда ( ) отличен от нуля и , значит, область его сходимости либо совпадает с интервалом сходимости, либо получается из него добавлением одной или обеих граничных точек.

Найдём интервал сходимости степенного ряда по формуле : .

Исследуем сходимость степенного ряда на концах интервала сходимости. При получаем условно сходящийся знакочередующийся ряд (пример 34.4. лекции 34). Значит, - точка сходимости ряда . При получаем расходящийся гармонический ряд (лекция 32). Значит, - точка расходимости ряда . Следовательно, областью сходимости степенного ряда будет .

Ответ: .

4. Свойства степенных рядов

Сформулируем без доказательства основные свойства степенных рядов.

Свойство 1: Сумма степенного ряда является непрерывной функцией в интервале сходимости .

Свойство 2: Степенные ряды и , имеющие радиусы сходимости соответственно и , можно почленно складывать, вычитать и умножать. Радиус сходимости произведения, суммы и разности рядов не меньше, чем меньшее из чисел и .

Свойство 3: Степенной ряд внутри интервала сходимости можно почленно дифференцировать. При этом для ряда при выполняется равенство

Полученный в результате дифференцирования степенной ряд имеет тот же радиус сходимости, что и исходный ряд.

Свойство 4: Степенной ряд можно почленно интегрировать на каждом отрезке, расположенном внутри интервала сходимости. При этом для ряда при выполняется равенство

Полученный в результате интегрирования степенной ряд имеет тот же радиус сходимости, что и исходный ряд.

Свойства степенных рядов широко используются в теоретических исследованиях и в приближенных вычислениях.

Контрольные вопросы:

1. Что называют функциональным рядом? Приведите примеры функциональных рядов.

2. Сформулируйте определение точки сходимости (точки расходимости) функционального ряда.

3. Какой функциональный ряд называется степенным? Приведите примеры степенных рядов.

4. Почему счет членов степенного ряда ведется, как правило, с нуля, а не с единицы?

5. Сформулируйте теорему Абеля и следствие из нее. Проанализируйте, в чем заключается их смысл для нахождения точек сходимости степенного ряда.

6. Что называют радиусом сходимости степенного ряда?

7. Какова техника нахождения радиуса сходимости степенного ряда? Проиллюстрируйте ее на конкретном примере.

8. Сформулируйте определения интервала и области сходимости степенного ряда. Проанализируйте, в чем заключается их отличие.

9. Как найти область сходимости степенного ряда, если известен радиус его сходимости?

10. Перечислите известные Вам свойства степенных рядов.