3. Свойства абсолютно сходящихся рядов

Абсолютно сходящиеся ряды занимают особое место среди знакочередующихся рядов, так как на такие ряды переносятся основные свойства конечных сумм. Приведем основные свойства абсолютно сходящихся рядов без доказательства.

Свойство 1(теорема Дирихле): Если ряд абсолютно сходится, то ряд, полученный из него перестановкой членов, также сходится и имеет ту же сумму, что и исходный ряд.

Свойство 2: Абсолютно сходящиеся ряды с суммами и можно почленно складывать (вычитать). В результате получится абсолютно сходящийся ряд, сумма которого равна .

Свойство 3: Произведение двух абсолютно сходящихся рядов и с суммами и есть абсолютно сходящийся ряд сумма которого равна .

Для условно сходящихся рядов соответствующие свойства, вообще говоря, не имеют места.

Так, переставляя члены условно сходящегося ряда, можно добиться того, что сумма ряда изменится.

Более того, в силу теоремы Римана, путем перестановки членов условно сходящегося ряда можно получить сходящийся ряд с заранее заданной суммой или расходящийся ряд.

Поэтому действия над рядами нельзя производить, не убедившись в их абсолютной сходимости.

Контрольные вопросы:

1. Какой ряд называется знакочередующимся? Приведите примеры знакочередующихся рядов.

2. В чем заключается признак Лейбница для знакочередующегося ряда?

3. Сформулируйте определение и приведите примеры абсолютно сходящегося знакочередующегося ряда.

4. Сформулируйте определение и приведите примеры условно сходящегося знакочередующегося ряда.

5. Какая техника позволяет исследовать характер сходимости знакочередующегося ряда? Приведите конкретный пример исследования.

6. Проанализируйте, почему абсолютно сходящиеся ряды занимают особое место среди знакочередующихся рядов.

7. Перечислите известные Вам свойства абсолютно сходящихся рядов.

Лекция 35. Функциональные и степенные ряды. Радиус и интервал сходимости

План:

1. Понятие функционального ряда.

2. Понятие степенного ряда. Радиус и интервал сходимости.

3. Область сходимости степенного ряда.

4. Свойства степенных рядов.

1. Понятие функционального ряда

Пусть задана бесконечная последовательность функций , , ,…, , …, определённых на одном и том же множестве А. Ряд вида , членами которого являются функции от х, называется функциональным. По определению, ряды , - функциональные. Придавая х определенное значение из множества А, получим числовой ряд , который может оказаться как сходящимся, так и расходящимся. Если полученный числовой ряд сходится, то точка называется точкой сходимости функционального ряда ; если же числовой ряд расходится – точкой расходимости функционального ряда.

Пример 35.1. Докажите, что точка является точкой сходимости, а =8 – точкой расходимости функционального ряда

Доказательство. Подставим в функциональный ряд , вместо х . Получим числовой ряд , который является сходящимся рядом геометрической прогрессии (лекция 33). Следовательно, по определению, - точка сходимости функционального ряда .

Подставим в функциональный ряд , вместо х . Получим числовой ряд , который является расходящимся рядом геометрической прогрессии (лекция 33). Следовательно, по определению, - точка расходимости функционального ряда , что и требовалось доказать.

Множество всех точек сходимости функционального ряда называется его областью сходимости. В области сходимости функционального ряда его сумма является некоторой функцией от х: . Определяется она в области сходимости равенством: , где - частичная сумма ряда.