1. Причем и

Тогда из первых четырех уравнений (2.9) для определения получаем

Остальные три случая с двойными узлами основаны на правиле Симпсона:

После того как выбраны и , получаем из уравнения g), и тогда уравнения e) и f) образуют линейную систему для определения . Наконец, из (2.6) находим .

Задание и порядок выполнения работы

1. Изучить теоретические основы метода.

2. Составить программу реализации для ЯМРК-3 и ЯМРК-4.

3. Решить вариант задачи и построить графики для приближенного решения с шагом h, проверить сходимость.

4. Вычислить и построить графики для локальных погрешностей.

5. Провести сравнительный анализ методов.

Варианты заданий

Таблица 2

№ п/п	Система уравнений	Начальные условия	Шаг	Отрезок
1		y1(0)=1 y2(0)=0,05	0,1	[0;10]
2		y1(0)=1 y2(0)=0,5	0,1	[0;10]
3		y1(0)=0,5 y2(0)=1	0,1	[0;10]
4		y1(0)=0,5 y2(0)=1	0,1	[0;10]
5		y1(0)=1 y2(0)=0,5	0,1	[0;10]
6		y1(0)=0 y2(0)=1	0,1	[0;10]
7		y1(0)=0,3 y2(0)=0	0,1	[0;10]
8		y1(0)=1 y2(0)=1	0,1	[0;10]

Лабораторная работа № 3

Практическая оценка погрешности

И выбор длины шага

Краткие теоретические сведения

Э к с т р а п о л я ц и я п о Р и ч а р д с о н у

Пусть некоторым методом Рунге-Кутты порядка p в результате выполнения двух шагов h найдено численное значение , а в результате выполнения одного большого шага длины 2h получено значение . Тогда погрешность может быть оценена по формуле

, (3.1)

а выражение

(3.2)

аппроксимирует величину с порядком p+1.

Формула (3.1) дает очень простой способ оценки погрешности, а (3.2) позволяет увеличить точность на один порядок.

А в т о м а т и ч е с к о е у п р а в л е н и е д л и н о й ш а г а

Если начальная длина шага была выбрана равной h, программа выполняет вычисление двух шагов длины h и одного шага длины 2h, как описано выше. Затем на основе формулы (3.1) вычисляется погрешность:

(3.3)

где - масштабирующий множитель.

Затем величина err сравнивается с заданной величиной допустимой погрешности tol. Если , два вычисленных шага считаются принятыми и решение продолжается, исходя из или (в последнем случае говорят о методе «локальной экстраполяции»), причём в качестве длины нового шага берётся Максимальный коэффициент увеличения шага обычно выбирают между 1,5 и 5. В противном случае оба шага отбрасываются, и вычисления повторяются с новой длиной шага ( рекомендуется выбирать между 0,8 и 1).