23

Министерство образования Российской Федерации

АМУРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Факультет математики и информатики

Г.С. Михайлов, р.Р. Саакян, и.А. Шпехт, е.И. Шутова

Численные

методы решения

обыкновенных

дифференциальных

уравнений

Методическое пособие

Благовещенск

2000

Печатается по решению

редакционно-издательского совета

факультета математики и информатики

Амурского государственного

университета

ББК 22.193

М 69

Г.С. Михайлов, Р.Р. Саакян,

И.А. Шпехт, Е.И. Шутова

Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений: Методическое пособие. / Благовещенск, Амурский гос. ун-т. 2000.

Пособие содержит постановку, краткий анализ методов решения ОДУ и систем ОДУ, набор заданий и последовательность их выполнения.

Предназначено для студентов математических специальностей.

Рецензенты: А.П. Павлюк, доцент, канд. физ.-мат. наук,

А.В. Бушманов, зав. кафедрой ИУС АмГУ, канд. техн. наук,

 Амурский государственный университет, 2000

В В Е Д Е Н И Е

Методическое руководство к лабораторным работам по численным методам решения обыкновенных дифференциальных уравнений предназначено для студентов специальности «Прикладная математика».

Цель методического указания – закрепить теоретические знания студентов о численных методах решения обыкновенных дифференциальных уравнений (ЧМР ОДУ), дать им практические навыки ЧМР ОДУ в научно-технических задачах.

В качестве технических средств, применяемых для выполнения лабораторной работы, используются IBM-PC компьютеры, имеющие конфигурацию:

микропроцессор Intel Pentium-100 или аналог,

не менее 8 Mb оперативной памяти,

а также программное обеспечение Microsoft’95 или выше.

Рекомендуемая среда для разработки программного обеспечения –Mathcad, Маtlab и другие математические пакеты.

В описании всех лабораторных работ приведены краткие теоретические сведения, определены задания и порядок выполнения работы, а также даны варианты заданий.

Каждая лабораторная работа складывается из нескольких стадий: подготовка, разработка программы, выполнение расчетов, оформление и сдача отчета по работе.

Подготовка к лабораторной работе предполагает самостоятельную работу студента по овладению навыками практического применения теоретического материала для решения задач на IBM-PC.

Оформление и сдача отчета по лабораторной работе. Каждую лабораторную работу студент оформляет в виде отчета, который должен содержать: краткое теоретическое описание метода, исходные данные по вариантам, текст программы, полученные результаты расчетов в виде таблиц и графиков, выводы по работе.

Лабораторная работа № 1 модификации метода эйлера Краткие теоретические сведения

М е т о д Э й л е р а

Простейшим численным методом решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения является метод Эйлера. Он основан на разложении искомой функции Y(x) в ряд Тейлора в окрестностях узлов , в котором отбрасываются все члены, содержащие производные второго и более высоких порядков. Запишем это разложение в виде

. (1.1)

Заменяем значения функции y в узлах значениями сеточной функции . Кроме того, используя уравнение , полагаем

, .

Учитывая введенные обозначения и пренебрегая членами порядка из равенства (1.1), получаем

(1.2)

Полагая i=0, с помощью соотношения (1.2) находим значение функции при :

.

Требуемое здесь значение задано начальным условием . Аналогично могут быть найдены значения функции в других узлах:

. . . . . . .

Построенный алгоритм называется методом Эйлера. Разностная схема этого метода представлена соотношениями (1.2). Они имеют вид рекуррентных формул, с помощью которых значение функции в любом узле вычисляется по ее значению в предыдущем узле . В связи с этим метод Эйлера относится к одношаговым методам.

Метод Эйлера обладает малой точностью, так как интеграл дифференциального уравнения представляется двумя членами ряда Тейлора.

На практике локальную погрешность оценивают с помощью двойного просчета: расчет повторяют с шагом h/2 и погрешность более точного значения (при шаге h/2) оценивают приближенно так:

У с о в е р ш е н с т в о в а н н ы й м е т о д л о м а н ы х

Более точным является усовершенствованный метод ломаных, при котором сначала вычисляют промежуточные значения

и находят значение направления поля интегральной кривой в средней точке ( ), т.е.

.

Затем полагают, что

У с о в е р ш е н с т в о в а н н ы й м е т о д

К о ш и – Э й л е р а

Дадим еще одну схему Эйлера. Значение правой части f(x,Y) уравнения в схеме возьмем равным среднему арифметическому значению между и , т.е. вместо разностной схемы напишем

. (1.3)

Полученная схема является неявной, поскольку искомое значение входит в обе части соотношения (1.3) и его, вообще говоря, нельзя выразить явно. Для вычисления можно применить один из итерационных методов. Если имеется хорошее начальное приближение , то можно построить решение с использованием двух итераций следующим образом. Считая начальным приближением, вычисляем первое приближение по формуле:

(1.4)

Новое значение подставляем вместо в правую часть соотношения (1.4) и находим окончательное значение

(1.5)

Алгоритм (1.4), (1.5) можно записать в виде одного соотношения:

Остаточные члены первого и второго улучшенных методов Эйлера на каждом шаге имеют порядок О(h³).

Оценка локальной погрешности может быть получена с помощью двойного просчета: