Теоретико-числовые мемуары Эйлера
Все работы Эйлера по теории чисел (около 150 работ) поражают своей глубиной и оригинальностью. Именно с его именем связано становление теории чисел как науки:
Разложив на множители натуральное число
,
он
опроверг гипотезу Ферма, предполагавшего,
что все числа вида
-
простые.
Эйлер установил, что все совершенные чётные числа имеют вид
,
где
и число Мерсенна
-
простые, и доказал, что число Мерсенна
- простое. Заметим, что нечётных
совершенных чисел до сих пор не найдено
(Совершенное число – число, равное
сумме всех своих собственных делителей).
Ещё пифагорейцам была известна пара дружественных чисел: (220 и 284), Ферма обнаружил вторую пару: (17 296 и 18 416), Декарт – третью: (9 363 584 и 9 437 056). Эйлер же составил список 62 пар таких чисел, утвердив славу непревзойдённого никем вычислителя.
Имя Эйлера носит введённая и исследованная им функция
-количество натуральных чисел. меньших
и взаимно простых с
при
.
Эта функция играет важную роль в теории
чисел. Используя её, Эйлер ввёл понятие
первообразного корня
по модулю
- такого числа, что
делится на
тогда и только тогда, когда
кратно
,
и доказал существование первообразного
корня по любому простому
.Подлинными жемчужинами теории чисел являются:
доказанные Эйлером теоремы о простых числах:
и
-
количество простых чисел, не больших
;
его таблица 65 компанейских (подходящих) чисел (компанейскими называется такая группа из k чисел, в которых сумма собственных делителей первого числа равна второму, сумма собственных делителей второго – третьему и т.д., а первое число равно сумме собственных делителей k-го числа);
открытый им закон квадратичной взаимности
,
где
и
- различные нечётные простые числа;
его многочлены
,
определяющие соответственно при
только простые числа.
Сформулированная Эйлером гипотеза, что всякое чётное число
есть сумма двух простых чисел и гипотеза
Гольдбаха о представлении всякого
натурального числа
в виде суммы трёх простых чисел составили
знаменитую проблему Гольдбаха-Эйлера,
не решённую полностью до сих пор.Хотя предложенное Эйлером доказательство основной теоремы алгебры (о существовании действительного или мнимого корня у любого многочлена степени с действительными коэффициентами) и не было достаточно обоснованным, оно содействовало появлению строгого доказательства Гаусса и других математиков.
Элементы теории вероятностей в работах Эйлера
К середине XYIII века ТВ начали чаще применять в демографии, страховании, оценке ошибок наблюдения, проведении лотерей и пр. Многие математики приняли участие в разработке вероятностных идей, в том числе и Л. Эйлер. Часть работ Эйлера опубликованы при его жизни, но большинство – посмертно, а некоторые – значительно позже (СС, 1923 г.).
Начало исследований положено по монаршей воле: для пополнения государственной казны прусский король Фридрих II решил использовать генуэзскую лотерею, а Эйлеру пришлось его консультировать. В результате появилось несколько статей, в которых рассмотрены следующие проблемы:
Решена задача определения вероятности появления номеров, следующих друг за другом, даже определена цена билета. Например, при вытаскивании 5 билетов из 90
,
затем задача сформулирована в общем
виде.В статье «Вычисление вероятности в игре «встреча»» чётко виден метод решения многих последующих задач: сначала рассматриваются простейшие частные случае, а затем решается задача в общем виде.
Правила игры: 2 игрока с полными колодами карт извлекают поочередно карты до появления одинаковой карты, тогда один из них выигрывает, если нет – то выиграл 2-ой. Нужно определить вероятности выигрыша каждого игрока.
Эйлер
начинает решать с условия, что каждый
имеет по одной карте, тогда
,
затем по 2, по 3, по 4 и только после этого
переходит к общему случаю. В конце статьи
следует вывод: если количество карт
бесконечно, то вероятность выигрыша
1-го выразилась бы бесконечным рядом
,
а 2-го - рядом
.
Успехи наук, в основном, физики выдвинули на первое место важность нахождения наиболее вероятных значений. Д. Бернулли (1777 г.) предложил весьма сложный способ оценки максимального правдоподобия, сводящийся к решению уравнения 5 степени с 20 членами. Эйлер в статье «Замечания к предыдущей статье прославленного Бернулли» удачно совместил свой способ со способом Бернулли и получил в качестве уравнения правдоподобия довольно простое уравнений 3 степени, часто сводящееся к квадратному.
особенно значимы исследования Эйлера по приложению ТВ к демографии, в которых
введены основные её понятия (вероятностная продолжительность жизни; прирост населения; порядок вымирания),
создана законченная теория повозрастной смертности,
рассмотрены вопросы страхования,
сделан расчёт пожизненных рент.
Итак, в ТВ Эйлер не рассматривал общие идеи и понятия, решая конкретные, важные для практики задачи.
Литература
1. Демидов, С.С. Возникновение теории дифференциальных уравнений с частными производными // Историко-математические исследования. - М.: Наука, 1975. - № 20. - С. 204-220.
2. Берман, Г.Н. Число и наука о нем. Общедоступные очерки. – М.: ГИТТЛ, 1984.
3. Стиллвелл, Д. Математика и ее история. - Москва-Ижевск: ИКИ, 2004. - 530 с.
4. Юшкевич, А. П. История математики в России. - М.: Наука, 1968.