4. Систематизация Эйлером дифференциального и интегрального исчисления

Научные труды Л. Эйлера до сих пор поражают нас не только оригинальностью рассуждений, но и, что очень значимо, методическим мастерством. Недаром Лаплас говорил: «Читайте, читайте Эйлера - это учитель нас всех», а «король математиков» Гаусс писал: «Изучение работ Эйлера остаётся наилучшей школой в различных областях математики, и ничто другое не может это заменить».

Первые курсы исчисления бесконечно малых написаны в конце XVII века Г. Лопиталем («Анализ бесконечно малых», 1696) и И. Бернулли («Лекции по интегральному исчислению», 1692). Но, так как уже в первой трети XVIII века было накоплено много нового, то необходимо было систематизировать все новое содержание математического анализа.

Заслуга в решении этой задачей исключительной широты и сложности принадлежит Л. Эйлеру, труды которого, опубликованные в 1748-1770 гг., составили эпоху не только в МА, но и в математике в целом. К ним относятся 2 тома «Введения в анализ бесконечных», 2 книги «Дифференциального исчисления» и 3 тома «Интегрального исчисления» - эта трилогия является энциклопедией МА того времени, влияние этих трудов на дальнейшее развитие МА и его приложений переоценить невозможно.

«Введение в анализ бесконечных» (1748):

в I томе Эйлер:

• определяет предмет МА: «Весь анализ бесконечных величин заключается в исследовании переменных величин и их функций»;

• развивая учение о функции, даёт сразу необходимые вычислительные средства, основными из которых являются разложения

• в обобщённые степенные ряды,

• бесконечные произведения.

• непрерывные дроби;

• рассматривает общую классификацию функций, в основном сохранённую в современном анализе (алгебраические и трансцендентные функции);

• даёт классическое построение теории трансцендентных функций, в частности излагает:

• теорию логарифмов комплексных переменных,

• формулы Муавра в современном виде,

• формулы Эйлера, связывающие экспоненту и тригонометрические функции (появившиеся ещё в 1741 г. в переписке с Х. Гольдбахом);

• указывает один из самых действенных способов изучений трансцендентных функций – разложение их в ряды, рассматривая 2 способа – арифметический (члены ряда – числа и требуется сходимость ряда) и алгебраический (бесконечный ряд – формальной выражение, порождённое заданной функцией, и может быть расходящимся);

• с помощью расходящихся рядов находит разложение гамма-функции в произведение, а также функциональные уравнения гамма- и дзета-функции;

во II томе:

• кратко изложены геометрические приложения математического анализа, т.е. аналитическая геометрия на плоскости:

• рассмотрены кривые, заданные на разных кусках интервала определения различными аналитическими выражениями,

• дана классификация кривых и соответствующих им функций,

• выводятся формулы преобразования координат,

• изучается общее уравнение прямой,

• выясняется число точек пересечения алгебраической кривой n-го порядка с прямой,

• излагается теория конических сечений (3-х классов),

• определяются и изучаются асимптоты (прямая или более простая кривая, которая на бесконечности сливается с рассматриваемой кривой),

• определена касательная, как прямая или более простая кривая, которая совпадала бы на очень маленьком протяжении с некоторой частью рассматриваемой кривой,

• исследованы вопросы о радиусе круга кривизны, об особых точках, точках перегиба,

• особое внимание уделено изучению обратных тригонометрических функций и различного вида спиралей,

• «Приложение о поверхностях» - это первое систематическое изложение аналитической геометрии в пространстве:

• исследованы поверхности с помощью плоских сечений,

• выведены общие формулы преобразования пространственных координат с помощью «эйлеровых углов»,

• исследовано общее уравнение второго порядка с тремя переменными (выделены 6 конических видов поверхностей второго порядка).

В 1755 году Петербургская академия наук опубликовала «Дифференциальное исчисление» Эйлера. По содержанию, систематичности изложения и последовательности в развитии новых понятий и алгоритмов это сочинение можно поставить на одно из самых почётных мест во всей истории математического анализа. Весьма сильное влияние оно оказало на развитие и преподавание математики в России.

В первой половине XVIII века назрела необходимость освободить основания нового исчисления от геометрической и механической трактовки, т.е. излагать его аналитическим методом, что и сделано Эйлером в его «Дифференциальном исчислении». Книга состоит из 2 частей, в 1-ой из которых излагается дифференциальное исчисление в собственном смысле слова, во 2-ой – применение ДИ, теории рядов и непрерывных дробей к решению алгебраических уравнений, нахождению точек минимума и максимума функции одного и двух аргументов. Вопросам приложения ДИ к геометрии Эйлер планировал посвятить 3-ю часть, которую так и не написал.

В течение 1768-1770 гг. (каждый год по тому) было издано «Интегральное исчисление» Эйлера – сочинение с необычайным богатством новых результатов, содержащее сложные вопросы теории ОДУ и ДУ в частных производных. Без преувеличения можно сказать, что оно составило новую эпоху в развитии математического анализа. Так как в понятие интегрального исчисления Эйлер, как и все его современники, включал не только интегрирование функций, но и ДУ, то содержание томов было таково:

Два тома содержали 4 раздела:

• интегрирование функций (I том, ч. 1),

• интегрирование ОДУ I порядка (I том, ч. 2),

• интегрирование ДУ второго и высшего порядков (II том, ч. 1),

• интегрирование уравнений с частными производными (II том, ч. 2).

В 1794 году Петербургская академия наук издала IV (посмертный) том «Интегрального исчисления» Эйлера, в котором были собраны все дополнения к предыдущим томам.

Таким образом, изданием этих фундаментальных эйлеровских трудов был подведён итог открытиям мировой математики в области математического анализа, включая ДУ, специальные функции, вариационное исчисление, элементы теории аналитических функций и другие разделы математики, получившие впоследствии самостоятельное развитие.