1. Метод найменших квадратів
У загальному випадку модель об'єкта може бути представлена функциональною залежністю: Y = f (Xi), де Хi - вхідні змінні. Такий підхід, коли вивчається залежність вихідних параметрів від величини вхідних змінних об'єкта, без опису внутрішніх властивостей і закономірностей, називається методом «чорного ящика».
Вхідна змінна Х |
|
Об'єкт |
|
Вихідна змінна Y |
|
|
Рис.1 - Схема об'єкта Вихідна
Нехай є деяка сукупність експериментальних вимірювань вихідного параметра при відповідній величині незалежної вхідної змінної для об'єкта, представленого на рис.1. У методі найменших квадратів постулюється, що
найкращим рівнянням, яке описує залежність значень вихідних параметрів об'єкта від вхідних змінних, буде рівняння відповідає умові:
де Yp і Yе - розрахункові і експериментальні значення.
(1)
Якщо припустити, що модель об'єкта описується степеневим поліномом виду :: Y = a + b * X + c * X2, то можна записати наступний вираз для обчислення суми квадратів різниць між розрахунковими й експериментальними величинами:
(2)
У цьому рівнянні невідомими величинами є коефіцієнти a, b і с, значення яких повинні забезпечувати мінімум суми квадратів різниць між розрахунковими й експериментальними величинами. Мінімум функції F можна знайти шляхом рішення системи рівнянь:
У наведеній вище системі з трьох рівнянь три невідомі змінні: a, b і с. Розкриємо дужки і перепишемо систему рівнянь в наступному вигляді:
Вирішити отриману систему лінійних рівнянь можна будь-яким відомим методом. В Excel зручно вирішувати такі системи, що складаються з лінійних рівнянь, матричним способом, застосовуючи правило Крамэра.
2. Вибір емпіричної формули
Для опису експериментальних даних можна використовувати крім статечних поліномів будь-яку залежність (формулу). При цьому кожній формулі буде відповідати своя величина суми квадратів відхилень розрахункових та експериментальних даних. Ясно, що найкращою буде обрана формула, яка забезпечує найменшу величину зазначених відхилень. У деяких випадках вибір типу емпіричної формули може бути проведений на основі теоретичних уявлень про характер досліджуваної залежності або про зміну вимірюваних величин. Однак найчастіше доводиться підбирати формулу, порівнюючи криву, побудовану за даними спостережень, з типовими графіками окремих формул. Такі графіки приведені в довідкових виданнях.
Тому, перш ніж визначати чисельні значення коефіцієнтів в обраній емпіричною формулою, необхідно перевірити можливість її використання методом вирівнювання. Тільки після цього можна переходити до відшукання тих значень постійних коефіцієнтів, які забезпечують найкраще наближення досвідчених і обчислених величин.
Для того щоб вірно обрати функції вирівнювання в даній курсовій роботі необхідно поетапно досліджувати запропоновані 10 прийомів вирівнювання для відповідних формул, підставивши свої початкові дані. У процесі підбору виконую побудову графіків результатів вирівнювання. За потрібну формулу вирівнювання приймаю ту, графік якої – пряма лінія. Відповідно до обраної формули вирівнювання проводжу наступні розрахунки.
3.Вихідні
дані
За своїми вихідними даними будую графік за допомогою «Майстер діаграм», вибравши тип діаграми «Крапкова». (MS Office Excel)
Таблиця 3. «Вихідні дані»
X |
Y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,1 |
20,155 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,7 |
16,864 |
|
|
|||||||||
2,5 |
15,692 |
|
||||||||||
2,9 |
15,26 |
|
||||||||||
3,1 |
15,086 |
|
||||||||||
4 |
14,684 |
|
||||||||||
5,5 |
15,44 |
|
||||||||||
6,9 |
17,544 |
|
||||||||||
7,5 |
18,755 |
|
||||||||||
8,1 |
20,106 |
|
||||||||||
9,9 |
24,759 |
|
||||||||||
11,1 |
28,194 |
|
||||||||||
12,5 |
32,407 |
|
||||||||||
13,8 |
36,455 |
|
||||||||||
12,2 |
31,49 |
|
||||||||||
14,7 |
39,312 |
|
||||||||||
15,9 |
43,173 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
25,037 |
|
|
Рис.3. |
«Діаграма» |
|
|
|
|
|
|
|
18,2 |
50,694 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20 |
56,656 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так як не знаю, який прийом вирівнювання застосувати, то досліджую усі вирівнювання по порядку.