Предисловие

Цель предлагаемой работы – помочь тем, кто изучает дифференциальные уравнения приобрести навык решения стандартных задач.

Рекомендуется перед выполнением индивидуальных заданий, ознакомиться с теорией и решением типовых примеров.

В работе использованы предыдущие издания методических указаний по дифференциальным уравнениям, составленным Т.И. Карнауховой, А.И. Клишиным, В.И. Губиным.

§ 1. Уравнения первого порядка

1. Основные понятия. Уравнение

, (1)

связывающее между собой независимую переменную , искомую функцию и ее производную называется дифференциальным уравнением первого порядка.

В случае, если это уравнение разрешено относительно производной :

, (1)

предполагается, что функция однозначно определена и непрерывна в некоторой области арифметической плоскости .

Примечание. Утверждения, справедливые для уравнения (1), остаются таковыми и для уравнения (1), как частного случая.

Решением или интегралом уравнения (1) называется такая дифференцируемая функция , которая при подстановке в уравнение (1) обращает его в тождество.

Пример. Уравнение – интеграл дифференциального уравнения , записанного в виде (1). Уравнение, разрешенное относительно имеет вид (1): ; функция – его решение.

Решить дифференциальное уравнение, значит, найти все его решения; процесс решения называется интегрированием дифференциального уравнения.

График решения называется интегральной кривой уравнения (1).

Общим решением уравнения (1) называется функция, зависящая от и одной произвольной постоянной и обладающая следующими свойствами: 1) она является решением уравнения при любых значениях постоянной , 2) для любого начального условия существует единственное значение , при котором решение удовлетворяет заданному начальному условию.

Всякое решение , получающееся из общего решения при конкретном значении , называется частным решением.

Задача Коши. Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию .

Теорема. Если функция непрерывна и имеет непрерывную производную в области , то решение дифференциального уравнения при начальном условии существует и единственно, т.е. через точку проходит единственная интегральная кривая.

Пример. Дифференциальное уравнение имеет общее решение (в области, где ), так как:

1) при любом и непосредственная подстановка и в уравнение обращает его в тождество ;

2) постоянной можно распорядиться так, чтобы выполнялось любое начальное условие: (здесь ): ; — частное решение.

2. Уравнения с разделяющимися переменными. Уравнение будем называть уравнением с разделяющимися переменными, если функция может быть разложена на множители, каждый из которых зависит только от одной переменной:

. (2)

Производную можно рассматривать, как отношение дифференциалов: , что позволяет записать уравнение (2) в виде

,

умножив обе его части на и разделив на , придем к уравнению

(переменные разделены). Интегрируя левую часть полученного уравнения по , а правую часть по – , получаем общий интеграл уравнения (2):

.

Пример 1. Найти общий интеграл уравнения

.

Решение. Данное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Преобразуем его левую часть:

,

.

Если обе части уравнения разделим на , то переменные разделятся, и мы получим:

.

Проинтегрируем:

или ,

.

Обозначим произвольную постоянную через , что допустимо, так как (при ) может принимать любое значение от до . Следовательно,

— общий интеграл данного уравнения. Избавляясь от логарифмов, получим его общее решение: .

Пример 2. Найти линию, проходящую через точку и обладающую тем свойством, что отрезок любой ее касательной, заключенный между координатными осями, делится пополам в точке касания.

Решение. Пусть уравнение искомой кривой . Известно, что уравнение касательной к ней в любой точке имеет вид , где — координаты текущей точки касательной. Обозначим точки пересечения касательной с осями координат через и . Полагая , найдем абсциссу точки пересечения касательной с осью абсцисс: . Очевидно, . Согласно условию задачи, точка является серединой отрезка , поэтому , т.е. или . Это и есть дифференциальное уравнение относительно искомой функции . Разделив в нем переменные, получим

,

откуда , , т.е. . Следовательно, указанным в условии задачи свойством обладает любая гипербола полученного семейства. Остается выделить ту из них, которая проходит через точку . Так как подстановка значений и в общий интеграл дает , то искомая гипербола имеет уравнение .

3. Однородные уравнения. Функция называется однородной измерения , если для любого .

Уравнение называется однородным, если функция является однородной измерения .

Однородное уравнение может быть приведено к виду

. (3)

С помощью подстановки однородное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными по отношению к новой неизвестной функции .

Пример 3. Выделить интегральную кривую уравнения , проходящую через точку .

Решение. В числителе и знаменателе правой части однородные функции измерения , поэтому однородная функция нулевого измерения и уравнение однородное. Разделим числитель и знаменатель на

.

Полагаем или . Тогда , , — уравнение с разделяющимися переменными.

Решая его, получаем , почленное интегрирование приводит к равенству , или . Полагая здесь , получим общий интеграл данного уравнения

.

Так как для интересующей нас кривой при , то , . Следовательно, уравнение искомой кривой , или .

4. Линейные уравнения. Уравнения вида

(4)

называются линейными. Если , то уравнение называется линейным неоднородным, если — линейным однородным.

Линейные неоднородные уравнения могут быть решены методом Бернулли, который заключается в следующем. С помощью подстановки , где и – две неизвестные функции, исходное уравнение (4) преобразуется к виду:

или . (5)

Так как одна из неизвестных функций может быть выбрана произвольно, за выбираем любое частное решение уравнения , при этом (5) упрощается:

; ; .

Общее решение исходного уравнения находится умножением на , т.е. .

Пример 4. Проинтегрировать уравнение .

Решение. Данное уравнение является линейным уравнением первого порядка. Положим , тогда . Подставим и в данное уравнение

.

Сгруппируем члены, содержащие :

.

Подберем так, чтобы выражение в скобках обратилось в нуль:

или ,

, откуда то есть . Решая уравнение , находим , , .