4 Тема 3: Магнитное поле постоянного тока
4.1 Основные формулы и указания к решению задачи
Связь
магнитной индукции
с напряженностью
магнитного поля
, (4.1)
где – магнитная проницаемость изотропной среды, 0 – магнитная постоянная. В вакууме = 1, и тогда магнитная индукция в вакууме
.
(4.2)
Закон Био-Савара-Лапласа
или
, (4.3)
где
– магнитная индукция поля, создаваемого
элементом провода длиной dl
с током I,
– радиус-вектор, направленный от элемента
проводника к точке, в которой определяется
магнитная индукция,
– угол между радиусом-вектором и
направлением тока в элементе провода.
Магнитная индукция в центре кругового тока
, (4.4)
где R – радиус кругового витка.
Магнитная индукция на оси кругового тока
,
(4.5)
где h – расстояние от центра витка до точки, в которой определяется магнитная индукция.
Магнитная индукция поля прямого тока
, (4.6)
где r0 – расстояние от оси провода до точки, в которой определяется магнитная индукция.
Магнитная индукция поля, создаваемого отрезком провода с током (см. рисунок 4.1),
(4.7)
Рисунок 4.1
Направление вектора магнитной индукции обозначено точкой – это значит, что направлен перпендикулярно плоскости чертежа к нам.
При симметричном расположении концов провода относительно точки, в которой определяется магнитная индукция – cos 2 = cos 1 = cos , тогда
. (4.8)
Магнитная индукция поля соленоида
B = 0nI, (4.9)
где n – отношение числа витков соленоида к его длине.
4.2 Пример решения задачи
Бесконечно длинный провод изогнут так, как это изображено на рисунке 4.2, а. Радиус R дуги окружности равен 10 см. Определить магнитную индукцию В поля, создаваемого в точке О током I = 80 A, текущим по этому проводу.
Решение:
магнитную индукцию
в точке О найдем, используя принцип
суперпозиции магнитных полей:
.
В нашем случае провод можно разбить на
три части (рисунок 4.2, б): два прямолинейных
провода (1 и 3), одним концом уходящие в
бесконечность, и дугу полуокружности
(2) радиуса R. Тогда
, (4.10)
где
,
– магнитные индукции в точке О,
создаваемые током, текущим соответственно
на первом, втором и третьем участках
провода.
а) б)
Рисунок 4.2
Так как точка О лежит на оси провода 1, то В1 = 0 и тогда
.
(4.11)
Учитывая, что векторы
и
направлены в соответствии с правилом
буравчика перпендикулярно плоскости
чертежа от нас, то геометрическое
суммирование можно заменить алгебраическим:
B = B2 + B3. (4.12)
Магнитную индукцию B2 найдем, воспользовавшись выражением для магнитной индукции в центре кругового тока:
. (4.13)
В нашем случае магнитное поле в точке О создается лишь половиной такого кругового тока, поэтому
. (4.14)
Магнитную индукцию В3 найдем, воспользовавшись соотношением:
.
(4.15)
В нашем случае r0 = R, 1 = /2 (сos 1 = 0), 2 (сos 2 = –1). Тогда
.
(4.16)
Используя найденные выражения для В2 и В3, получим
или
(4.17)
Выполним проверку единиц измерения величин.
.
(4.18)
Произведем вычисления:
Тл.