7 Тема 6: Переменный ток

7.1 Основные формулы и указания к решению задачи

Переменный ток, текущий через резистор сопротивлением R (рисунок 7.1, а)

Если к концам участка цепи приложено напряжение U = U_m сos t, то сила тока определяется законом Ома I = U/R = (U_m/R) сos t = I_m сos t, где I – амплитуда силы тока. Векторная диаграмма (рисунок 7.1, б) амплитудных значений тока I_m и напряжения U_m на резисторе показывает, что сдвиг фаз между I_m и U_m равен нулю.

а) б)

Рисунок 7.1

Переменный ток, текущий через катушку индуктивностью L (рисунок 7.2, а)

Если в цепи приложено переменное напряжение U = U_m сos t, то сила тока в такой цепи I = I_m сos  (t – /2). Величина R_L = L называется индуктивным сопротивлением. Векторная диаграмма (рисунок 7.2, б) показывает, что падение напряжения U опережает по фазе ток I, текущий через катушку на /2.

а) б)

Рисунок 7.2

Переменный ток, текущий через конденсатор емкостью С (рисунок 7.3, а)

Если переменное напряжение приложено к конденсатору, то он все время перезаряжается, и в цепи течет переменный ток. Если все внешнее напряжение приложено к конденсатору, а сопротивлением подводящих проводов можно пренебречь то U = U_m сos t. Сила тока I = I_m сos(t + /2), где I_m = U_m/(1/(C)).

Величина R_C = 1/(C) называется емкостным сопротивлением.

Падение напряжения на конденсаторе U отстает по фазе от текущего через конденсатор тока I на /2. Это показано на векторной диаграмме (рисунок 7.3, б).

а) б)

Рисунок 7.3

Цепь переменного тока, содержащая последовательно включенные резистор, катушку индуктивности и конденсатор (рисунок 7.4, а).

На рисунке 7.4, б представлена векторная диаграмма амплитуд падений напряжений на резисторе (U_R), катушке (U_L) и конденсаторе (U_C). Амплитуда U_m приложенного напряжения должна быть равна векторной сумме амплитуд этих падений напряжений. Угол  определяет разность фаз между напряжением и силой тока

. (7.1)

Из прямоугольного треугольника получаем

, (7.2)

откуда амплитуда силы тока имеет значение

. (7.3)

Следовательно, если напряжение в цепи изменяется по закону

U = U_m сos t, то в цепи течет ток I = I_m сos(t – ).

а) б)

Рисунок 7.4

Действующие значения тока и напряжения для синусоидального тока соответственно равны:

I = I_m / , U = U_m / . (7.4)

7.2 Примеры решения задач

Пример 1. В цепи переменного тока (f = 50 Гц) с действующим напряжением 127 В включены параллельно конденсатор емкостью C = 24 мкФ и дроссель индуктивностью L = 0,6 Гн и активным сопротивлением R = 100 Ом. Определите действующее значение подводимого к участку тока.

Дано: U = 127 В; f = 50 Гц; C = 2410^-6 Ф; L = 0,6 Гн; R = 100 Ом.

I = ?

Решение.

Начертим схему соединения приборов (рисунок 7.5, а) и построим векторную диаграмму токов (рисунок 7.5, б). При параллельном соединении элементов на каждом из них напряжение одинаковое, поэтому за основное направление возьмем вектор амплитуды напряжения.

а)	б)

Рисунок 7.5

Амплитуда тока в конденсаторе I_mС опережает амплитуду напряжения на /2, амплитуда тока в дросселе I_md отстает от амплитуды напряжения на угол

. (7.5)

Векторная сумма токов I_mC и I_md определяет подводимый ток I. Из векторной диаграммы очевидно, что

I ²_m = I ²_mC + I ²_md – 2I_mC I_md соs(90 – ) = I ²_mC + I ²_m – 2 I_mC I_md sin . (7.6)

Перейдем к действующим значениям тока:

I ² = I ²_C + I ²_d – 2I_C I_d sin , . (7.7)

Токи I_C и I_d найдем, применив закон Ома к каждому участку отдельно:

I_C = UC, ,  = 2f. (7.8)

Расчеты дают: sin = 0,8832; I_C = 0,96 A, I_d = 0,562 A; I = 0,515 A.

Выполним проверку единиц измерения величин.

. (7.9)

Пример 2. В цепь переменного тока (f = 50 Гц) с действующим значением силы тока 10 А включены последовательно конденсатор емкостью C = 18 мкФ, активное сопротивление R₁ = 10 Ом и дроссель индуктивностью L = 0,6 Гн и активным сопротивлением R₂ = 109 Ом. Определить действующее в цепи напряжение.

Дано: f = 50 Гц; I = 10 А; C = 1810^-6 мкФ; R₁ = 10 Ом; L = 0,6 Гн; R₂ = 100 Ом.

U – ?

Начертим схему включения приборов (рисунок 7.6, а) и построим векторную диаграмму напряжений (рисунок 7.6, б).

а)	б)

Рисунок 7.6

При последовательном соединении через все элементы идет одинаковый ток, поэтому за основное направление возьмем вектор амплитуды тока I_m. Амплитуда напряжения на конденсаторе U_mC отстает по фазе от тока на /2. Амплитуда напряжения на дросселе U_md опережает по фазе ток на . Амплитуду напряжения на дросселе разложим на две составляющие: активную U'_md = U_md cos  (колеблется в фазе с током) и реактивную U''_md = U_md sin  (опережает ток по фазе на /2). Амплитуда напряжения на резисторе U_mR совпадает с амплитудой тока (колеблется в фазе с током). Амплитуда полного напряжения в цепи равна векторной сумме напряжений U'_md, U''_md, U_mC и U_mR.

Амплитуда напряжения, совпадающего по фазе с током:

U_1m = U_mR + U'_md = I_mR₁ + I_mR₂. (7.10)

Амплитуда напряжения, опережающего ток на /2:

U_2m = U''_md – U_mC, . (7.11)

Амплитуда полного напряжения

. (7.12)

Перейдем к действующим значениям напряжения и тока

,  = 2f. (7.13)

Подставим численные данные

U = 220 В.

Выполним проверку единиц измерения величин.

(7.14)