1.2. Условие стационарной генерации

Коэффициент усиления пропорционален инверсии населенностей и имеет наибольшее значение, когда отсутствует расселение верхнего уровня под воздействием потока излучения. Такой режим называют режимом слабого сигнала, соответствующее значение (k_ν)_max – ненасыщенным коэффициентом усиления. По мере увеличения интенсивности потока излучения инверсия населенностей и соответственно коэффициент усиления уменьшаются.

В стационарном режиме интенсивность генерируемого активной средой излучения, определяющая в конечном итоге выходную мощность лазера, достигает такого уровня, при котором, как уже отмечалось выше, устанавливается баланс между усилением и потерями электромагнитной энергии на элементах конструкции оптического резонатора и в активной среде:

. (1.3)

В этом выражении  – длина активной среды, k_ν – коэффициент её усиления при установившемся уровне интенсивности электромагнитного излучения. Во всех случаях k_ν < (k_ν)_max, и его в отличие от (k_ν)_max называют насыщенным коэффициентом усиления. Далее здесь  - коэффициент, определяющий распределенные потери за счет поглощения и рассеяния в активной среде, _i – потери на элементах конструкции квантового генератора, включающие и коэффициент пропускания выходного зеркала T₂ , определяющий выходную мощность лазерного излучения (полезные потери),   сумма всех вредных потерь.

Таким образом, левая часть выражения (1.3) определяет усиление потока излучения за полный проход (2), правая - сумму всех возможных потерь.

1.3. Зависимость коэффициента усиления от интенсивности потока излучения

Для определения выходной мощности лазерного излучения необходимо прежде всего исходить из зависимости коэффициента усиления от интенсивности потока излучения, взаимодействующего с активной средой. Как уже отмечалось, коэффициент усиления уменьшается по мере увеличения интенсивности генерируемого излучения из-за снижения инверсии населенности. Характер этой зависимости определяется типом уширения спектральной линии, на которой работает квантовый генератор.

Принято различать два типа уширения спектральной линии: однородное и неоднородное. Принципиальное отличие здесь состоит в том, что при однордном уширении все частицы активной среды в равной степени взаимодействуют с электромагнитным излучением, при неоднородном – лишь определенные их группы.

Ширина однородно уширенной линии

Δν_одн = (1/ τ₂ + 1/₁) / 2 (1.4)

определяется временами жизни частиц (₂ и ₁) на энергетических уровнях E₂ и E₁ излучательного квантового перехода. Её минимальная так называемая естественная ширина определяется максимально возможными для данных состояний временами жизни, что может иметь место в случае чисто спонтанного излучения. При индуцированных переходах время жизни на верхнем уровне уменьшается, соответственно растет полоса генерируемых частот.

В случае газового лазера основной причиной однородного уширения является сбой фазы излучения при столкновениях молекул газовой среды между собой – столкновительное уширение. Для одноатомных молекул

Δν_одн ≈ , (1.5)

где a_б – боровский радиус атома, p  давление газа; m – масса молекул, участвующих в генерации, k = 1,38∙10^-23 Дж/К – постоянная Больцмана, T – температура газа.

Распределение объемной плотности излучаемой энергии  по частоте характеризуется параметром g(ν) = (1/ρ)(dρ/dν), который называется форм-фактором спектральной линии или просто формой линии. Форма однородно уширенной линии описывается уравнением Лоренца:

g_одн(ν) = , (1.6)

где Δν_одн – ширина линии на уровне 0,5 от максимума;  – текущее значение частоты излучения; ν_о – частота, соответствующая центру спектральной линии.

Значение насыщенного коэффициента усиления при однородном уширении подчиняется следующей зависимости:

, (1.7)

где (k_0)_max – ненасщенный коэффициент усиления в центре спектральной линии; J_ – интенсивность потока, J_s – так называемый параметр насыщения – величина интенсивности потока, при которой коэффициент усиления уменьшается в два раза. При однородном уширении

J_s  , (1.8)

где _сп – время жизни, определяемое спонтанным переходом.

Теоретическая оценка ширины линии и параметра насыщения носит приближенный характер, поэтому при проектировании приборов используют данные, полученные экспериментально.

Неоднородное уширение в газовых лазерах проявляется в виде эффекта Доплера – сдвиг частоты в случаях, когда источник излучения приближается либо удаляется от наблюдателя. При относительной скорости перемещения v<<c “доплеровская” частота

ν_д ≈ ν_o [1 + (v/c) cos θ], (1.9)

где ₀ – частота излучения неподвижной частицы, θ – угол между направлением движения частицы и направлением распространения электромагнитной волны.

В связи с этим электромагнитная волна будет взаимодействовать не со всеми частицами (как в случае однородно уширенной линии), а только c частицами, имеющими скорость v_z = vcos по направлению распространения волны, при которой “доплеровская” частота совпадает с частотой излучения. В результате насыщение (уменьшение) коэффициента усиления происходит не в пределах всего контура усиления, а лишь в некоторой полосе частот (рис.1.3). Ширина и глубина возникающего провала определяются величиной однородного уширения Δν_одн и интенсивностью волны J_.

В предельном случае (чисто неоднородного уширения), когда Δν_нд>> Δν_одн, форма контура усиления при максвелловском законе распределения частиц по скоростям имеет вид функции Гаусса:

, (1.10)

где

(1.10, а)

– ширина линии на уровне 0,5 от максимума.

Зависимость коэффициента усиления от интенсивности потока излучения в этом случае имеет вид:

. (1.11)

В общем случае, когда величина однородного и неоднородного уширений соизмеримы и генерация осуществляется на нескольких продольных модах, коэффициент усиления

(1.12)

В этом выражении

 - текущее значение частоты, на которой определяется коэффициент усиления;

_i и J_i - частота и интенсивность i-й моды;

n – число мод;

’ и ”  доплеровские частоты центров спектральных линий групп частиц, взаимодействующих с волнами, движущимися в противоположных направлениях, из-за чего ”= (2₀  ’) (рис.1.3).

Интегрирование по всему диапазону значений ’ определяет суммарный вклад от всех частиц в величину коэффициента усиления на частоте .

Коэффициент k₀ определяется через ненасыщенный коэффициент усиления в центре спектральной линии (k_0)_max как

. (1.12, а)

В установившемся режиме интенсивность каждой из мод J_i устанавливается на таком уровне, при котором коэффициенты усиления на соответствующих частотах снижаются до величины, определяемой балансом между усилением и потерями (1.3). Результирующая интенсивность потока излучения J представляет собой сумму интенсивностей всех генерируемых мод и определяется значениями параметра возбуждения  и параметра .

Параметр возбуждения

(1.13)

показывает, во сколько раз максимальная величина ненасыщенного коэффициента усиления превышает его установившееся значение в условиях стационарной генерации, определяемое уровнем потерь.

Параметр  = _одн / _нд определяет характер уширения спектральной линии.

Если генерация происходит на одной продольной моде, частота которой совпадает с центром контура усиления (=₀), интегрирование уравнения (1.12) приводит к выражению:

, (1.14)

где - функция ошибок от аргумента .

Зависимости интенсивности излучения от параметра возбуждения  для различных значений , полученные с использованием этого выражения, представлены на рис. 1.4. Их математическая обработка позволяет получить приближенные соотношения, связывающие интенсивность потока излучения с величинами параметров  и :

 в случае, когда уширение близко к однородному ( > 0,45),

J  0,5 (1+ 0,45 / ) ( - 1) J_S; (1.15)

 в остальных случаях

J  [1+A ( - 1)] ( - 1) J_{S .} (1.15, a)

Зависимость коэффициента A от  представлена в таблице 1.1.

Таблица 1.1

	0	0,02	0,04	0,06	0,08	0,1	0,2	0,3	0,4	0,45
A	0,5	0,38	0,29	0,13	0,17	0,15	0,07	0,03	0,01	0

В общем случае (n > 1) интенсивность излучения зависит как от числа мод, так и от межмодового частотного интервала. Для одного из частных случаев на рис. 1.5 представлена рассчитанная на ЭВМ зависимость интенсивности излучения от длины резонатора L, определяющей межмодовый частотный интервал и, соответственно, число генерируемых мод.

Как видно из рисунка, при длине резонатора L, превышающей некоторую величину, зависящую от параметра , интенсивность, достигает максимальной величины и далее не зависит от числа мод. Это происходит, когда межмодовый интервал _q, уменьшающийся по мере увеличения L,становится меньше ширины провалов в контуре усиления, в результате чего провалы полностью перекрываются.

Результаты численного интегрирования выражения (1.12) приводят к следующему соотношению, определяющему предельную величину интенсивности потока излучения:

J  0,5 (1+0,34  ^-1,2)(-1) J_S. (1.16)

Условие перекрытия провалов, определяющее возможность использования этого выражения, выглядит следующим образом:

30

20

10

0

0 20 40 60 80

(1.17)

Число генерируемых мод n определяется отношением ширины частотного диапазона контура усиления, в пределах которого усиление превышает потери _г, к межмодовому интервалу _q (рис. 1.6).

При симметричном расположении, когда частота центральной моды совпадает с центром контура (число мод нечетное)

n  2 int(0,5_г / _q) +1, (1.18)

где int обозначает целую часть величины.