2.1.4. Інтегрування раціональних функцій

В алгебрі доведено, що довільна раціональна функція може бути представлена у вигляді відношення многочленів . Якщо Q_n(x)const, то раціональна функція є цілою, якщо Q_n(x) const, то раціональна функція є дробово-раціональна.

Довільна ціла раціональна функція може бути представлена у вигляді многочлена, інтеграл від якого знаходиться використовуючи властивості невизначеного інтеграла.

Якщо степінь чисельника строго менше степеня знаменника m n, то раціональний дріб називається правильним, якщо m n – неправильним.

Довільний неправильний раціональний дріб може бути представлений у вигляді суми многочлена та правильного раціонального дробу, шляхом виділення цілої частини

Наступні правильні раціональні дроби , (kN, k2), , (kN, k2), де коефіцієнти многочленів дійсні числа, а квадратні тричлени не мають дійсних коренів (D=p²-4q 0) називають відповідно найпростішими дробами першого, другого, третього та четвертого типів.

Інтеграл від дробів першого та другого типів знаходяться безпосередньо шляхом використання таблиці та основних властивостей.

Розглянемо інтеграл від дробу третього типу

(D=p²-4q 0)

В частинному випадку коли p=0 і q0 використовуючи метод представлення функції декількома функціями маємо суму табличних інтегралів

В загальному випадку використовують прийом:

• знаходять похідну знаменника ;

• чисельник представляють у вигляді суми цієї похідної помноженої на відповідну const та деякої const: ;

• у квадратному тричлені виділяють повний квадрат:

Отже,

Інтеграл від дробу четвертого типу можна знайти за формулою М.В.Остроградського.

,

Р_2к-3(х) – степінь многочлена на одиницю менший ніж степінь знаменника.

 - невідома стала, k=2, 3, 4, …

Приклад 12. Знайти інтеграл

Розв’язання. Задано інтеграл від дробу четвертого типу, тому знайдемо його за допомогою формули Остроградського:

Про диференціювавши обидві частини останньої формули маємо:

Прирівнюємо коефіцієнти при однакових степенях

х²: 0=-А+, А=,

х¹: 1=-2В+, 1=-4+,

х⁰: 0=А-В+, 0=2 -В, В=2

Будь-який правильний раціональний дріб можна представити у вигляді суми найпростіших дробів, при цьому таке представлення єдине.

Приклад 13. Знайти інтеграл

Розв’язання.

Прирівнюємо коефіцієнти при однакових степенях

х⁴: 0=А+D D=- А D=-3

х³: 0=-2А+В-D+Е -D+Е=4 Е=1

х²: 0=А-2В+С А=2В-С А=3

х¹: 0=В-2С 2С=В В=2

х^0: 1=С С=1 С=1

Приклад 14. Знайти інтеграл .

Розв’язання.

Прирівнюємо коефіцієнти при однакових степенях

х²: 0=А+В А=-В

х¹: 1=-В+С 1=А+А

х^0: 0=А-С А=С

Таким чином, =

Оскільки інтеграл від довільної раціональної функції виражається в скінченому вигляді, то природно звести інтеграл до інтеграла від раціональної функції за допомогою підстановок, такі підстановки мають назву раціоналізація.

Розглянемо декілька важливих класів функцій, інтеграли від яких раціоналізуються.