1.1 Основні формули диференціювання
;
(1.1)
; (1.2)
; (1.3)
; (1.4)
; (1.5)
; (1.6)
; (1.7)
; (1.8)
; (1.9)
; (1.10)
(1.11)
(1.12)
Подані похідні функцій
та
.
Якщо ж необхідно знайти похідну функції
,
то застосовують так звану логарифмічну
похідну. Спочатку логарифмуємо
.
(1.13)
Тепер знайдемо похідні лівої і правої частини рівності (1.13).
,
тоді
тобто
Щоб продиференціювати неявно задану
функцію
,
потрібно взяти похідну від обох частин
даної рівності, вважаючи
функцією
від
,
і одержане рівняння розв’язати відносно
.
Похідна неявно заданої функції
виражається через незалежну змінну
і саму функцію
.
Приклад 1. Знайти похідну функції
.
Розв’язання. Перепишемо функцію у такому вигляді:
.
В силу формули 2 з таблиці похідних та правила диференціювання суми можемо записати
Приклад 2. Знайти похідну функції
.
Розв’язання. При диференціюванні функції застосуємо правило диференціювання добутку двох функцій та формули (1.4) і (1.11) .Одержимо
Приклад
3. Знайти похідну функції
.
Розв’язання. Застосуємо правило диференціювання дробу та формули(1.7) і (1.8). Маємо
Приклад 4. Знайти похідну функції
.
Розв’язання. Застосуємо правило диференціювання суми та необхідні формули диференціювання. Одержуємо
Приклад 5. Знайти похідну функції
Розв’язання
,
тобто
.
Тепер знаходимо похідні лівої і правої
частини рівності
Похідну у/=f /(x) диференційованої функції у=f(x) можна розглядати як деяку нову функцію. Можливо, що ця функція також має похідну, тоді похідна від похідної І-го порядку називається похідною ІІ-го порядку або ІІ-ою похідною і позначають у//=(f /(x))/
Похідною
n-го порядку називають першу похідну
від похідної
-го
порядку і позначають
(1.14)
Приклад
6. Знайти похідну
від функції
.
Розв’язання. З формули (1.14) випливає, що для знаходження похідної четвертого порядку необхідно знайти похідну третього порядку, похідна 3-го порядку знаходиться як похідна від похідної 2-го порядку, а похідна 2-го порядку знаходиться як похідна від похідної першого порядку. Будемо знаходити послідовно похідні 1-го, 2-го, 3-го та 4-го порядків. Маємо:
;
;
;
.
Приклад 7. Знайти
похідну
,
якщо
.
Розв’язання. Маємо неявно задану функцію. Продиференціюємо праву і ліву частини рівності, вважаючи функцією від
,
(При диференціюванні
другого доданка було використано
формулу:
.)
1.2. Основні теореми диференціального числення
Теорема Ферма. Нехай функція f(x) визначена в деякому проміжку (a;b) і у внутрішній точці с цього проміжку (a<с<b) вона приймає найбільше (найменше) значення. Тоді якщо існує похідна f /(с), то f /(с)=0.
Теорема Ролля. Нехай функція f(x)неперервна на відрізку [a;b] і диференційована в інтервалі (a;b) і f(a)= f(b). Тоді с(a;b): f /(с)=0.
Теорема Лагранжа. Нехай функція f(x)неперервна на відрізку [a;b] і диференційована в інтервалі (a;b). Тоді с(a;b): f(b) – f(a)= f /(с)(b-а).
Теорема Коші. Нехай функції f(x) і g(х) неперервні на відрізку [a;b], диференційовані в інтервалі (a;b) і g/(х)0 х(a;b). Тоді с(a;b):
