Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України

Індустріально-педагогічний технікум Конотопського Інституту

Сумського державного університету

Методична розробка «Диференціальне та інтегральне числення функції однієї змінної»

Розробила: викладач

Рябченко Ірина Олександрівна

2012р

Вступ

Основне завдання дисципліни «Вища математика» полягає в тому, щоб озброїти студентів основами математичних знань, вмінь та навичок в об’ємі, необхідному для їх повсякденної практичної діяльності, для засвоєння загально технічних і спеціальних предметів, а також для подальшого підвищення кваліфікації шляхом самоосвіти. Важливе місце у вивченні даного курсу займають такі розділи «Диференціальне числення функції однієї змінної» та «Інтегральне числення функції однієї змінної».

Дана методична розробка ставить за мету надати допомогу студентам ІІ курсу спеціальностей «Економіка підприємства», «Фінанси і кредит» в організації їх роботи по оволодінню системою знань, вмінь та навичок з тем «Диференціальне числення функції однієї змінної» та «Інтегральне числення функції однієї змінної» в об’ємі робочої програми.

Весь теоретичний матеріал викладений в якісній, доступній для студента формі, з використанням геометричних інтерпретацій. Приводиться велика кількість розв’язаних прикладів і задач, що сприяє кращому розумінню і засвоєнню навчального матеріалу. У кінці кожної теми розроблені завдання для типового розрахунку.

Методична розробка буде корисною студентам ІІ курсу спеціальностіей Економіка підприємства», «Фінанси і кредит» та викладачам дисципліни «Вища математика».

Зміст

Вступ ………………………………………………………………………………..…… 2

Розділ І. Диференціальне числення функцій однієї змінної ……………………..…...4

1. Основні формули диференціювання…………………………………….…..5

1.2. Основні теореми диференціального числення ……………….………….… 8

1.3. Дослідження функцій за допомогою похідних……………………………...9

1.4. Вгнутість і опуклість графіка функції………………………………………10

1.5. Схема дослідження функції…………………………………………………13

Завдання до типового розрахунку з теми: «Границя функції. Похідна функції»…….18

Розділ ІІ. Інтегральне числення функцій однієї змінної……...…………………….25

2.1. Невизначений інтеграл……………………………………………………….....25

2.1.1. Основні формули інтегрування ………………………………………….. 26

2.1.2.Основні властивості невизначеного інтеграла………………………… ….26

2.1.3. Основні методи інтегрування………………………………………………27

2.1.4. Інтегрування раціональних функцій……………………………………… 32

2.1.5. Інтегрування тригонометричних функцій……………………………….. 35

2.1.6. Інтегрування гіперболічних функцій………………………………………37

2.1.7. Інтегрування ірраціональних функцій…………………………………..…38

2.2. Визначений інтеграл…………………………………………………………….41

2.2.1. Невласні інтеграли……………………………………………………..……44

2.2.2. Застосування визначених інтегралів до задач геометрії………………….46

Завдання до типового розрахунку з теми: «Інтеграл та його застосування»…...……50

Список використаної літератури ………………………..………………………………69

І. Диференціальне числення функцій однієї змінної

Нехай функція y=f(x) визначена в деякому відкритому інтервалі (a;b). Розглянемоx₀ (a;b), надамо точці x₀ приріст х, тобто нове значення аргумента x₀+х, а відповідне значення функції f(x₀)+f(х)=f(x₀+х)=f(x₀)+ + f(x₀), де  f(x₀) – це приріст функції.

Похідною функції y=f(x) в точці х₀ називають границю (якщо вона існує) .

Геометричний зміст. Похідна функції у=f(x) в точці х₀ геометрично являє собою кутовий коефіцієнт нахилу дотичної проведеної до кривої у=f(x) в точці М₀(х₀; f(x₀)) з додатнім напрямом осі Ох.

Рівняння цієї дотичної має вигляд у(х)=у(x₀)+ у^/(x₀)(х –х₀)

Механічний зміст похідної: s^/( t₀) – це швидкість матеріальної точки, яка рухається по прямій за законом s=s(t), у момент часу t₀ .

Якщо функція має похідну, то вона називається диференційованою.

Теорема. Якщо функція у=f(x) диференційована в деякій точці х₀, то вона є неперервною в цій точці.

Неперервність є необхідною умовою для диференційованості функції, диференційованість – достатня умова для неперервності.

Правила обчислення похідних:

Введемо декілька правил обчислення похідних.

Позначимо , .

1) ;

2) ;

3) ;

4) (v^/(x₀)0)

5) Якщо функція має похідну в точці , а функція має похідну у відповідній точці , то складена функція в даній точці має похідну , яка обчислюється за формулою .

6) Якщо функція у=f(x)строго монотонна і має в точці х₀ похідну

f ^/(x₀)≠0, то і обернена функція х=g(y) має похідну в точці у₀=f(x₀) причому .