38. Полигон и гистограммы.

Полигоном частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки (x1,y1), (х2,y2),…, (xk,yк).

Полигоном относительных частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки (x1,w1), (х2,w2),…, (xk,wк).

Для непрерывных случайных величин строят гистограмму.

Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых сложат частичные интервалы длиною h, а высоты равны отношению   - (плотность частоты).

площадь гистограммы относительных .частот равна сумме всех относительных частот, т. е. единице.

39. Выборочное среднее.

Вы́борочное (эмпири́ческое) сре́днее — это приближение теоретического среднего распределения, основанное на выборке из него.

Пусть   — выборка из распределения вероятности, определённая на некотором вероятностном пространстве  . Тогда её выборочным средним называется случайная величина

.

Свойства выборочного среднего

• Пусть   — выборочная функция распределения данной выборки. Тогда для любого фиксированного   функция   является (неслучайной) функцией дискретного распределения. Тогда математическое ожидание этого распределения равно  .

• Выборочное среднее — несмещённая оценка теоретического среднего:

.

• Выборочное среднее — сильно состоятельная оценка теоретического среднего:

 почти наверное при  .

• Выборочное среднее — асимптотически нормальная оценка. Пусть дисперсия случайных величин   конечна и ненулевая, то есть  . Тогда

 по распределению при  ,

где   — нормальное распределение со средним   и дисперсией  .

• Выборочное среднее из нормальной выборки — эффективная оценка её среднего.

40. Выборочная дисперсия и выборочное среднее квадратическое отклонение.

Для того, чтобы наблюдать рассеяние количественного признака значений выборки вокруг своего среднего значения , вводят сводную характеристику- выборочную дисперсию.

  Выборочной дисперсией называют среднее арифметическое квадратов отклонения наблюдаемых значений признака от их среднего значения .

Если все значения признака выборки различны, то

 если же все значения имеют частоты n₁, n₂,…,n_k, то

Для характеристики рассеивания значений признака выборки вокруг своего среднего значения пользуются сводной характеристикой - средним квадратическим отклонением.

  Выборочным средним квадратическим отклоненим называют квадратный корень из выборочной дисперсии:

Вычисление дисперсии- выборочной или генеральной, можно упростить, используя формулу:

Замечание: если выборка представлена интервальным вариационным рядом, то за x_i принимают середины частичных интервалов.

41. Коэффициент вариации, доверительные интервалы. Надёжность. Их зависимость.

коэффициент вариации:

Коэффициент вариации случайной величины — мера относительного разброса случайной величины; показывает, какую долю среднего значения этой величины составляет её средний разброс. Исчисляется в процентах. Вычисляется только для количественных данных. В отличие от среднего квадратического или стандартного отклонения измеряет не абсолютную, а относительную меру разброса значений признака в статистической совокупности.

Известно, что коэффициент вариации может быть записан посредством долей^[4]:

где  .

где   — математическое ожидание. Эта формула применяется для вероятностных моделей.

Доверительным интервалом параметра θ распределения случайной величины X с уровнем доверия 100p%^{[примечание 1]}, порождённым выборкой (x₁,…,x_n), называется интервал с границами  (x₁,…,x_n) и  (x₁,…,x_n), которые являются реализациями случайных величин L(X₁,…,X_n) и U(X₁,…,X_n), таких, что

.

Граничные точки доверительного интервала   и   называются доверительными пределами.

Интерпретация доверительного интервала, основанная на интуиции, будет следующей: если p велико (скажем, 0,95 или 0,99), то доверительный интервал почти наверняка содержит истинное значение θ.^{[ссылка 2]}

Еще одно истолкование понятию доверительного интервала: его можно рассматривать как интервал значений параметра θ, совместимых с опытными данными и не противоречащих им.