22. Дисперсия дискретной случайной величины. Основные понятия и определения.

Дисперсией   дискретной   случайной   величины  называют математическое ожидание квадрата отклонения  случайной   величиной  от ее математического ожидания: .  Дисперсия  имеет размерность, равную квадрату размерности  случайной   величины . Теорема.  Дисперсия  равна разности между математическим ожиданием квадрата  случайной   величины    и квадратом ее математического ожидания: .

Свойства  дисперсии 

1.  Дисперсия  постоянной  величины  равно нулю: . 2. Постоянный множитель можно выносить за знак  дисперсии , возводя его в квадрат: . 3.  Дисперсия  суммы двух независимых  случайных   величин  равно сумме  дисперсий  этих  случайных   величин : . Следствие.  Дисперсия  суммы нескольких взаимно независимых  случайных   величин  равно сумме  дисперсий  этих  величин . 4.  Дисперсия  разности двух независимых  случайных   величин  равно сумме  дисперсий  этих  случайных   величин : .

23. Корреляционный момент. Лемма.

 Корреляционным   моментом  _xy случайных величин Х и Y называется математическое ожидание произведения отклонений этих величин.

 

            Практически используются формулы:

 

Для дискретных случайных величин: 

 

Для непрерывных случайных величин: 

 

 Корреляционный   момент  служит для того, чтобы охарактеризовать связь между случайными величинами. Если случайные величины независимы, то их  корреляционный  момент  равен нулю.

 Корреляционный   момент  имеет размерность, равную произведению размерностей случайных величин Х и Y. Этот факт является недостатком этой числовой характеристики, т.к. при различных единицах измерения получаются различные  корреляционные   моменты , что затрудняет сравнение  корреляционных   моментов  различных случайных величин.

Для того, чтобы устранить этот недостаток применятся другая характеристика – коэффициент корреляции.

 

Определение. Коэффициентом корреляции r_xy случайных величин Х и Y называется отношение  корреляционного   момента  к произведению средних квадратических отклонений этих величин.

 

 

            Коэффициент корреляции является безразмерной величиной. Для независимых случайных величин коэффициент корреляции равен нулю.

 

            Свойство: Абсолютная величина  корреляционного   момента  двух случайных величин Х и Y не превышает среднего геометрического их дисперсий.

 

            Свойство: Абсолютная величина коэффициента корреляции не превышает единицы.

 

            Случайные величины называются коррелированными, если их  корреляционный   момент  отличен от нуля, и некоррелированными, если их  корреляционный   момент равен нулю.

            Если случайные величины независимы, то они и некоррелированы, но из некоррелированности нельзя сделать вывод о их независимости.

            Если две величины зависимы, то они могут быть как коррелированными, так и некоррелированными.

            Часто по заданной плотности распределения системы случайных величин можно определить зависимость или независимость этих величин.

            Наряду с коэффициентом корреляции степень зависимости случайных величин можно охарактеризовать и другой величиной, которая называется коэффициентом ковариации. Коэффициент ковариации определяется формулой: