15 Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях.

отклонения относительной частоты от постоянной вероятности 

     Наивероятнейшее число k₀ появления события A при n независимых испытаниях

(n - число испытаний; p - вероятность появления события при одном испытании).

16.Теорема Пуассона.

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие появляется с постоянной вероятностью p, причем p→0  или p→1  (близка к 0 или близка к 1)

 

Теорема. Если вероятность pn→0 , при n→∞ , то вероятность pn(k) (в n испытаниях событие наступает ровно k раз):

pn(k)≈k!λke−λ, 

где λ=n·p

Доказательство.

pn(k)=Cnk·pk·(1−p)n−k,  т.к. p=λn, то pn(k)=n!k!(n−k)!·(λn)k·(1−λn)n−k=k!λknkn(n−1)...(n−k+1)(1−λn)n(1−λn)−k 

Взяв предел от последнего выражения получим искомую формулу:

limn→∞pn(k)=k!λke−λ

17. виды случайных величин. Задание дискретной случайной величины

 Закон распределения дискретной случайной величины.

Закон распределения дискретной случайной величины

На первый взгляд может показаться, что для задания дискретной случайной величины достаточно перечислить все ее возможные значения. В действительности -это не так: случайные величины могут иметь одинаковые перечни возможных значений, а вероятности их появления — различные. Поэтому для задания дискретной случайной величины недостаточно перечислить все возможные ее значения, нужно еще указать их вероятности.

 Заданное соответствие между возможными значениями ДСВХ и их вероятностями называется законом распределения дискретной случайной величины ; его можно задать таблично, аналитически (в виде формулы) и графически.

При табличном задании закона распределения дискретной случайной величины первая строка таблицы содержит возможные значения, а вторая - их вероятности:

Х	x1	x2	…	xn
р	p1	p2	…	pn

 Эта таблица называется рядом распределения.

Приняв во внимание, что в одном испытании случайная величина принимает одно и только одно возможное значение, заключаем, что события Х=х₁, Х=х₂, …, Х=х_n - образуют полную группу; следовательно, сумма вероятностей этих событий, т. е. сумма вероятностей второй строки таблицы, равна единице:

  

Если множество возможных значений Х бесконечно (счетно), то ряд

сходится и его сумма равна единице.

  

20. Действия над дискретными случайными величинами.

Действия  над  дискретными   случайными   величинами 

ДСВ можно 1) умножать на число,

2) возводить в степень.

1) умножение на число

2) возведение в степень

Две ДСВ называются независимыми, если событие Аi, состоящее в том, что  случайная   величина  Х примет значения  ,   и

событие  будут независимыми. В противном случае ДСВ называются зависимыми.

Несколько ДСВ называются взаимно независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие ранее возможные значения приняли остальные  величины .

Пример.

Если в верхней строке таблицы появляются одинаковые значения, то соответствующие столбцы объединяем и их вероятности складываем.

 Действие  вычитания и умножения выполняются аналогично.

21. математическое ожидание и его свойства.

Математи́ческое ожида́ние — среднее значение случайной величины, распределение вероятностей случайной величины, рассматривается в теории вероятностей.^[1] В англоязычной литературе и в математическом сообществе Санкт-Петербурга обозначается через  (например, от англ. Expected value или нем. Erwartungswert), в русской —   (возможно, от англ. Mean value или нем. Mittelwert, а возможно от рус. Математическое ожидание). В статистике часто используют обозначение  .

Свойства математического ожидания

            1) Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной.

            2) Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания.

            3) Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.

            Это свойство справедливо для произвольного числа случайных величин.

            4) Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых.

        Это свойство также справедливо для произвольного числа случайных величин.

        Пусть производится п независимых испытаний, вероятность появления события А в которых равна р.

            Теорема. Математическое ожидание М(Х) числа появления события А в п независимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в каждом испытании.

            Однако, математическое ожидание не может полностью характеризовать случайный процесс. Кроме математического ожидания надо ввести величину, которая характеризует отклонение значений случайной величины от математического ожидания.

            Это отклонение равно разности между случайной величиной и ее математическим ожиданием. При этом математическое ожидание отклонения равно нулю. Это объясняется тем, что одни возможные отклонения положительны, другие отрицательны, и в результате их взаимного погашения получается ноль.