1.2.1 Алгебра логики.

Алгебра логики (алгебра высказываний) — раздел математической логики, в котором изучаются логические операции над высказываниями^[1]. Чаще всего предполагается (т. н. бинарная или двоичная логика, в отличие от, например, троичной логики), что высказывания могут быть только истинными или ложными.

Базовыми элементами, которыми оперирует алгебра логики, являются высказывания. Высказывания строятся над множеством {B,  ,  ,  , 0, 1}, где B — непустое множество, над элементами которого определены три операции:

 отрицание (унарная операция),

 конъюнкция (бинарная),

 дизъюнкция (бинарная),

а также константы — логический ноль 0 и логическая единица 1.

Дизъю́нкт — пропозициональная формула, являющаяся дизъюнкцией одного или более литералов (например  ). 

Конъюнкт — пропозициональная формула, являющаяся конъюнкцией одного или более литералов (например  ).

1.2.2 Логика высказываний.

Логика высказываний ²(или пропозициональная логика  от англ. propositional logic, или исчисление высказываний^[1]) — это формальная теория, основным объектом которой служит понятие логического высказывания. С точки зрения выразительности, её можно охарактеризовать как классическую логику нулевого порядка.

Несмотря на свою важность и широкую сферу применения, логика высказываний является простейшей логикой и имеет очень ограниченные средства для исследования суждений.

Базовыми понятиями логики высказываний являются пропозициональная переменная — переменная, значением которой может быть логическое высказывание, и (пропозициональная) формула, определяемой  индуктивно следующим образом^[2]:

Если P — пропозициональная переменная, то P — формула.

Если A — формула, то   — формула.

Если A и B — формулы, то  ,   и   — формулы.

Других формул нет.

Множество пропозиционных формул называется языком логики высказываний (англ. propositional language, PL)^[2].

Знаки   и   (отрицание,  конъюнкция,  дизъюнкция  и импликация) называются  пропозициональными связками.  Подформулой  называется часть формулы, сама являющаяся формулой. Собственной подформулой называется подформула, не совпадающая со всей формулой.

1.2.3 Теория доказательств.

Теория доказательств — это раздел математической логики, представляющий доказательства в виде формальных математических объектов, осуществляя их анализ с помощью математических методов.

Доказательства обычно представляются в виде  индуктивно  определённых структур данных, таких как списки и деревья, созданных в соответствии с аксиомами и правилами вывода формальных систем. Таким образом, теория доказательств является синтаксической, в отличие от семантической теории моделей. Вместе с теорией моделей,  аксиоматической теорией множеств и теорией вычислений, теория доказательств является одним из так называемых «четырёх столпов» математики.

1.2.4 Теория моделей.

Теория моделей — раздел математической логики, который занимается изучением связи между формальными языками и их интерпретациями, или моделями. Названиетеория моделей было впервые предложено Тарским в 1954 году. Основное развитие теория моделей получила в работах Тарского, Мальцева и Робинсона.

Теория моделей для классической логики первого порядка является исторически первым и наиболее развитым примером теоретико-модельного подхода. В роли моделей здесь выступают множества, представляющие область возможных значений переменных. Функциональные символы интерпретируются как операции соответствующейарности над ними, а предикаты — как отношения (более подробно, см. Логика первого порядка, интерпретация).

Одним из важнейших инструментов теории моделей является теорема компактности, доказанная Мальцевым, которая утверждает, что множество формул первого порядка имеет модель тогда и только тогда, когда модель имеет каждое его конечное подмножество.

Название теоремы связано с тем, что она может быть сформулирована как утверждение о компактности стоуновского пространства.

Из теоремы компактности следует, что некоторые понятия не являются выразимыми в логике первого порядка. Например, понятия конечности или счётности не могут быть выражены никакими формулами первого порядка и даже их множествами: если множество формул имеет сколь угодно большие конечные модели, то оно имеет и бесконечную модель. Аналогично, теория, имеющая бесконечную модель, мощность которой не меньше мощности сигнатуры, имеет модели и любой большей мощности.

Теорема компактности находит применение для конструирования нестандартных моделей классических теорий, например, элементарной арифметики илиматематического анализа.

Теория   — это множество замкнутых формул, замкнутое относительно выводимости, то есть если формула   следует из  , то   принадлежит  .

Теория, имеющая хотя бы одну модель, называется непротиворечивой, остальные теории — противоречивыми.

Теория   называется полной, если для любой формулы   теория содержит   или  . Если   — алгебраическая система, то множество истинных на   замкнутых формул образует полную теорию — теорию системы  , обозначаемую с помощью  .

Если на алгебраических системах   и   истинны одни и те же замкнутые формулы, то   и   называются элементарно эквивалентными. Таким образом,   и  элементарно эквивалентны тогда и только тогда, когда они являются моделью одной и той же полной теории.

Если полная теория   имеет конечную модель  , то все модели теории   изоморфны  , в частности, все они содержат такое же количество элементов. Следовательно, для конечных алгебраических систем понятия элементарной эквивалентности и изоморфизма совпадают.

Алгебраическая система   называется подсистемой алгебраической системы  , если   и интерпретация каждого сигнатурного символа в   является ограничением его же интерпретации в   на множество  . Подсистема называется элементарной, если для любой формулы   и для любых   выполнено:   тогда и только тогда, когда  . Система   называется в этих случаях (элементарным) расширением системы  .

Элементарная подсистема   элементарно эквивалентна  . Теории, для моделей которых верно и обратное — каждая элементарно эквивалентная подсистема является элементарной — называются модельно полными. Модельная полнота теории   эквивалентна каждому из следующих свойств:

любая формула в   эквивалентна экзистенциальной формуле,

любая формула в   эквивалентна универсальной формуле,

объединение   с диаграммой любой модели порождает полную теорию.

Если   — непустое множество, то среди всех подсистем  , включающих  , существует наименьшая, которая называется порожденной множеством  . Для элементарных подсистем в общем случае такое утверждение неверно.

Говорят, что теория  ³ имеет термальные скулемовские функции, если для каждой формулы   существует терм   и из теории   следует формула  . Иначе говоря, если существует элемент, на котором формула   истинна, то в качестве этого элемента может быть взято  . Если теория имеет термальные скулемовские функции, то она модельно полна. Каждая теория   имеет расширение  , имеющее термальные скулемовские функции. При этом каждая модель   теории   может быть обогащена до модели   теории  .

Теорема Лёвенгейма — Скулема «вверх» утверждает, что если   — алгебраическая система мощности не меньше  , то   имеет элементарные расширения любой мощности больше или равной  .

Теорема Лёвенгейма — Скулема «вниз»: если   — алгебраическая система мощности   и  , то   имеет элементарные подсистемы любой мощности между   и  .

Множество формул   называется множеством аксиом для теории  , если   является множеством следствий  . В частности, сама   является множеством аксиом для себя. Если для теории   существует конечное множество аксиом, то она называется конечно аксиоматизируемой.

Совокупности алгебраических систем называют классами. Класс алгебраических систем   называется аксиоматизируемым, если он является совокупностью моделей некоторой теории  . В этом случае множество аксиом для   называется также множеством аксиом для  . Класс   конечно аксиоматизируем тогда и только тогда, когда аксиоматизируемы сам   и его дополнение.

Теория   называется устойчивой относительно надсистем (соответственно, подсистем), если для любой алгебраической системы   из   и  (соответственно,  ) следует, что  . Теория   устойчива относительно подсистем тогда и только тогда, когда она аксиоматизируема посредством универсальных формул. Теория   устойчива относительно надсистем тогда и только тогда, когда она аксиоматизируема посредством экзистенциальных формул.

Теория   называется устойчивой относительно гомоморфизмов, если для любой алгебраической системы   из   следует, что  , если   — гомоморфный образ  . Теория   устойчива относительно гомоморфизмов тогда и только тогда, когда она аксиоматизируема посредством позитивных формул (то есть формул, не содержащих импликацию и отрицание).