Вариант задания №70

Задача 1. Построить в одной системе координат при графики следующих двух функций:

Построение графиков в Excel.

Для построения графиков функций y, z в одной системе координат выполняем следующие действия:

• Заполняем значение х в соответствии с диапазоном от минус 1,8 до 2,4. Зафиксируем значение минус 1,8 в ячейке А6, вызываем команду Заполнить – Прогрессия. После ее выполнения появится диалоговое окно Прогрессия, которое заполним следующим образом: в группе Расположение установим переключатель в положение По столбцам; в группе Тип выберем Арифметическая; в поле Шаг введем значение выбранного нами шага, т.е. введем 0,2; в поле Предельное значение установим 2,4; выполняем команду ОК.

• В ячейку В6 вставим формулу в соответствии с функцией y: =2*SIN(ПИ()*A6)*3*COS(ПИ()*A6). И протянем формулу вниз до предельного значения x.

• В ячейку С6 вставим формулу функции z: =(COS(ПИ()*A6))^2*SIN(3*ПИ()*A6). И протянем формулу вниз до предельного значения x.

• Выделяем диапазон В6:С25, далее Вставка – Диаграммы – Вставить график – График с маркерами. Корректируем наименование графика и значения рядов.

Результат выполнения задания представлен на рисунке 1.

Рисунок 1. Результат выполнения задачи 1 в Excel

Построение графиков в MathCAD.

Вносим с клавиатуры значения x и формул y(z), z(x), используя встроенные формулы и команды. Вызываем команду График. Внизу графика вносим переменную х, слева вносим имена функций y(x), z(x). Получаем следующий результат (рис.2).

Рисунок 2. Результат выполнения задачи 1 в MathCAD

Задача 2. Предприятие электронной промышленности выпускает две модели радиоприемников, причем каждая модель производится на отдельной технологической линии. Суточный объем производства первой линии – 60 изделий, второй – 75 изделий. На радиоприемник первой модели расходуется 10 однотипных элементов электронных схем, на радиоприемник второй модели – 8 таких же элементов. Максимальный суточный запас используемых элементов равен 800 единицам. Прибыль от реализации одного радиоприемника первой и второй моделей равна 30 и 20 долларов, соответственно. Определить оптимальный суточный объем производства первой и второй моделей.

Решение задачи в Excel.

Обозначим через М1 и М2 суточный объем производства (количество моделей радиоприемников). Целевая функция будет следующей:

F(x) = 30*М1+20*М2

Ограничения будут следующими:

10*М1+8*М2<=800

M1<=60

M2<=75

Заполняем лист в соответствии с рис.2, в ячейку Е4 вставляем формулу: =СУММПРОИЗВ($B$3:$C$3;B4:C4). Далее вызываем команду «Поиск решения» и заполняем окно в соответствии с рис. 3. Нажимаем кнопку «Найти решение», «Ок» и получаем найденное решение (рис.4).

Рисунок 3. Форма для решения оптимизационной задачи

Рисунок 4. Результат выполнения задачи 2

Решение задачи в MathCAD.

Вводим линейную целевую функцию q(x1,x2) и начальные значения переменных функции (x1,x2).

Вводим ограничения задачи:

Given

10*x1+8*x2≤800

x1≤60

x2≤75

x1≥0 x2≥0

Определяем оптимальное значение с помощью встроенной функции Maximize.

Результат решения задачи в MathCAD представлен на рисунке 5.

Рисунок 5. Результат выполнения задачи 2 в MathCAD

Задача 3. Определите, через сколько лет обычные ежегодные платежи размером 200 тыс.руб. принесут фирме доход в 10 млн. руб. при норме процента – 20% годовых.

Решение задачи в Excel.

Для решения этой задачи будем использовать функцию КПЕР, которая предназначена для расчета количества периодов выплат суммы платежа для каждого периода.

В ячейку А6 вставляем формулу: =КПЕР(20%;-200;;10000) и получаем результат - 13,15 лет (рис. 6).

Рисунок 6. Результат выполнения задачи 3

Решение задачи в MathCAD.

Введем формулу для вычисления срока как указано на рисунке 7 и получим результат.

Рисунок 7. Результат выполнения задачи 3 в MathCAD

Задача 4.

1. Решить систему уравнений методом Крамера.

2. Решить систему уравнений с помощью обратной матрицы.

3. Выполнить действия над матрицами.

Решение задачи в Excel.

Введём матрицу А и вектор b на рабочий лист. Кроме того, сформируем четыре вспомогательные матрицы, заменяя последовательно столбцы матрицы A на столбец вектора b.

Для дальнейшего решения необходимо вычислить определитель матрицы A. Установим курсор в ячейку I10 и обратимся к мастеру функций. В категории Математические выберем функцию МОПРЕД, предназначенную для вычисления определителя матрицы, и перейдём ко второму шагу мастера функций. Диалоговое окно, появляющееся на втором шаге содержит поле ввода Массив. В этом поле указывают диапазон матрицы, определитель которой вычисляют. В нашем случае это ячейки B9:E11. Формула =МОПРЕД(B8:E11)

Аналогичные вычисления для вспомогательных определителей.

Воспользуемся формулами Крамера и разделим последовательно вспомогательные определители на главный. В ячейку K11 введём формулу =I11/$I$10. Затем скопируем её содержимое в ячейки K12, K13 и K14. Система решена.

Рисунок 8. Результат выполнения задачи 4.1

Решение задачи в MathCAD.

Процесс вычислений в MathCAD аналогичен процессу решения задачи в Excel.

Введем матрицы A и B, вспомогательные матрицы А1, А2, А3, А4.

Вычислим определители матрицы А и вспомогательных матриц, и произведем вычисления Х1, Х2, Х3 и Х4 по формулам, указанных на рисунке 9. Система решена.

Рисунок 9. Результат выполнения задачи 4.1 в MathCAD

2.

Решение задачи в Excel.

Для решения системы методом обратной матрицы необходимо вычислить матрицу, обратную к A. Выделяем ячейки В11:D13, теперь обратимся к мастеру функций, и в категории Математические выберем функцию МОБР, выделяем массив B7:D9, ОК. В первой ячейке, выделенного под обратную матрицу диапазона, появится некое число. Для того чтобы получить всю обратную матрицу, необходимо нажать клавишу F2 для перехода в режим редактирования, а затем одновременно клавиши Ctrl+Shift+Enter.

Теперь необходимо умножить полученную обратную матрицу на вектор b. Выделим ячейки для хранения результирующего вектора, например, F11:F13. Обратимся к мастеру функций, и в категории Математические выберем функцию МУМНОЖ, которая предназначена для умножения матриц. В поле Массив1 необходимо ввести диапазон ячеек, в котором содержится первая из перемножаемых матриц, в нашем случае B11:D13 (обратная матрица), а в поле Массив2 ячейки, содержащие вторую матрицу, в нашем случае G7:G9 (вектор b). Если поля ввода заполнены, можно нажать кнопку OK. В первой ячейке выделенного диапазона появится соответствующее число результирующего вектора. Для того чтобы получить весь вектор, необходимо нажать клавишу F2, а затем одновременно клавиши Ctrl+Shift+Enter. В нашем случае результаты вычислений (вектор х), находится в ячейках F11:F13.

Для того чтобы проверить, правильно ли решена система уравнений, необходимо умножить матрицу A на вектор x и получить в результате вектор b. Умножение матрицы A на вектор x осуществляется при помощи функции =МУМНОЖ(B7:D9;F11:F13), так как было описанной выше.

Рисунок 10. Результат задания 4.2

Решение задачи в MathCAD.

Процесс вычислений в MathCAD аналогичен процессу решения задачи в Excel.

Введем матрицы A и B, вычислим матрицу А0 обратную матрице А, умножим матрицу А0 на вектор В и получим решение системы. Проведем проверку результата: умножим полученные значения Х на матрицу А. Система решена (рис. 11).

Рисунок 11. Результат выполнения задачи 4.2 в MathCAD

3.

Решение задачи в Excel.

На листе введем данные матриц А и В. Будем выполнять следующие действия:

- 2*А. Выделяем диапазон ячеек Е6:G8 и вставляем формулу: =2*D2:F4. После введения формулы одновременно нажмите сочетание клавиш CTRL+SHIFT+ENTER.

- А². Умножаем матрицу А на матрицу А. Выделяем диапазон ячеек J6:L8 и вставляем формулу: =МУМНОЖ(D2:F4;D2:F4). После введения формулы одновременно нажмите сочетание клавиш CTRL+SHIFT+ENTER.

- А²+В, (А²+В)В, 2A-(A^2+B)B выполняем аналогично.

Результат на рис. 12.

Рисунок 12. Результат задания 4.3

Решение задачи в MathCAD.

Процесс вычислений в MathCAD аналогичен процессу решения задачи в Excel.

Введем матрицы A и B, и далее произведем вычисления согласно рисунку 13.

Рисунок 13. Результат выполнения задачи 4.3 в MathCAD

Список использованной литературы:

1. Алексеев В.Ф., Васильцов С.А., Журавлев В.И. Справочник. Математические и финансово-экономические функции Excel.

2. Алексеев В.Ф., Журавлев В.И., Делендик Е.В. Практикум. Операции над матрицами средствами электронной таблицы Excel.

3. Алексеев В.Ф., Журавлев В.И., Делендик Е.В. Практикум. Решение оптимизационных задач средствами электронной таблицы Excel.

4. Овчаренко Е.К., Ильина О.П., Балыбердин Е.В. Финансово-экономические расчеты в Excel. Издание 3-е, переработанное и дополненное – М.: Информационно-издательский дом «Филин», 1999. – 328с.

5. Алексеев В.Ф., Журавлев В.И., Делендик Е.В. Практикум. Решение инженерно-экономических задач средствами MathCAD.

6. Алексеев В.Ф., Прикладные системы обработки данных. Методические указания по выполнению контрольной работы для студентов заочной формы обучения, 2011.

7. Боровиков, В. П. Программа STATISTICA для студентов и инженеров / В. П. Боровиков. − М. : КомпьютерПресс, 2001.

8. Экономическая информатика : учебник для вузов / В. В. Евдокимов [и др.] ; под ред. В. В. Евдокимова. СПб. : Питер, 1997.

9. Гельман, В. Я. Решение математических задач средствами Excel : практикум / В. Я. Гельман. – СПб. : Питер, 2003.

10. Дьяконов, В. П. Справочник по MathCAD 7 Pro. / В. П. Дьяконов. − М. : СК Прогресс, 1998.