Задания к контрольной работе по линейной алгебре для студентов 1-го курса заочной формы обучения

Раздел 1. Теоретические основы

1. Прямая на плоскости. Вывод общего и с угловым коэффициентом уравнений прямой.

2. Взаимное расположение прямых. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.

3. Понятие матрицы. Квадратная матрица. Действия над матрицами.

4. Определитель. Вычисление значения определителя.

5. Система линейных уравнений. Ранг системы. Условие существования единственного решения неоднородной системы уравнений.

6..Методы решения систем уравнений.

7. Система линейных неравенств. Задачи пользователя, которые можно решать с помощью систем линейных неравенств.

8. Методы решения неоднородной системы уравнений.

9. Правило Крамера.

10. Геометрический метод решения системы неравенств с двумя неизвестными.

11. Основная задача линейного программирования.

12. Понятие линейности в алгебре и геометрии.

13. Транспортная задача. Постановка и исходные данные задачи.

14. Отыскание допустимого базисного решения транспортной задачи.

15. Решение транспортной задачи методом потенциалов.

16. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса.

17. Методика решения системы линейных неравенств симплекс-методом.

18. Угол между прямыми.

19. Условия умножения двух матриц. Примеры умножения.

20. Определение расстояния от точки до прямой.

Раздел 2. Задачи аналитической геометрии на плоскости.

1. Определить расстояние от точки А(1,2) до прямой 2у-5х+1=0

2. Определить угловой коэффициент между прямыми 3у-х+2=0 и -2у+4х-3=0

3. Найти уравнение прямой, перпендикулярной прямой 6у+4х-3=0 и проходящей через точку А(-3,2)

4. Угловой коэффициент прямой равен 0,5. найти общее уравнение прямой, если она проходит через точку А(3,2)

5. Написать уравнение прямой с угловым коэффициентом, проходящей через точки А(-1,-2) и В(0,3)

6. Дана прямая 3у-2х=+3. Написать уравнение прямой, перпендикулярной данной и проходящей через начало координат.

7. Даны две прямых 4у=2х-3 и 2у+х=5. Определить положение этих прямых относительно друг друга.

8. Определить значения коэффициентов уравнения у=ах+в,, если известно, что прямая проходит через точки А(1,1) и С(3,2)

9. .Получить уравнение прямой, проходящей под углом 45^о и проходящей через точку А(2,1).

10. Определить, под каким углом пересекаются прямые 2у-4х+3=0 и 2у=-х+1.

11. Определить расстояние от точки А(3,2) до прямой 2у-х+1=0

12. Определить угловой коэффициент между прямыми 2у-х=2 и у+4х-3=0

13. Найти уравнение прямой, перпендикулярной прямой 2у+4х-3=0 и проходящей через точку А(3,2)

14. Угловой коэффициент прямой равен 0,75. найти общее уравнение прямой, если она проходит через точку А(0,2)

15. Написать уравнение прямой с угловым коэффициентом, проходящей через точки А(1,-2) и В(2,3)

16. Дана прямая 4у-2х=3. Написать уравнение прямой, перпендикулярной данной и проходящей через начало координат.

17. Даны две прямых 2у=4х-3 и 2у+х=5. Определить положение этих прямых относительно друг друга.

18. Определить значения коэффициентов уравнения у=ах+в,, если известно, что прямая проходит через точки А(1,3) и С(3,2)

19. .Получить уравнение прямой, проходящей под углом 45^о и проходящей через точку А(1,5).

20. Определить, под каким углом пересекаются прямые у-2х+3=0 и 4у=-2х+3.

Примечание. Для задач раздела обязательно сделать графики геометрических фигур.

Раздел 3. Решение систем линейных уравнений. Доказать, что система имеет единственное решение и, если так решить систему двумя способами. Для номеров вариантов, делящихся на 3 без остатка система решается методом Гаусса и методом расширенной матрицы, Для номеров дающих при делении остаток 1 – методом Гаусса и методом определителей. Для остальных вариантов - методом расширенной матрицы и методом определителей.

Например, методом Гаусса и методом определителей решаются задача с номерами 1, 4, 7 и т.д.

1. 3x-2y+5z=1

x+4y+2z=-2

-3x-y+5z=6

2. 6x-2y+4z=3

2x+5y+2z=-1

2x+4y+z=2

3. 3x-5y+2z=6

2x+4y-2z=2

4x-y+3z=2

4. х+2y-4z=-1

-4x+5y+2z=10

2x-4y+3z=5

5. -2x+2y+6z=2

2x+-y+4z=3

-3x+5y+3z=6

6. 2x-2y-3z=2

2x+5y-8z=3

5x+4y+2z=2

7. 4x+5y+2z=4

x-2y+3z=2

2x-3y+3z=4

8. 2x-2y+4z=5

x++3y+2z=3

-2x+4y+3z=6

9. х+4y-3z=3

3x+y-8z=4

4x+4y-3z=2

10. -2y+2z=2

2x-2y-3z=3

3x-2y+3z=4

11. 3x-2y+5z=6

x+4y+2z=-2

-3x-y+5z=1

12. 6x-2y+4z=-2

2x+5y+2z=-3

2x+4y+z=1

13. 3x-5y+2z=2

2x+4y-2z=3

4x-y+3z=5

14. х+2y-4z=-2

-4x+5y+2z=4

2x-4y+3z=5

15. -2x+2y+6z=5

2x+-y+4z=3

-3x+5y+3z=2

16. 2x-2y-3z=1

2x+5y-8z=2

5x+4y+2z=-1

17. 4x+5y+2z=2

x-2y+3z=3

2x-3y+3z=1

18. 2x-2y+4z=3

x+3y+2z=4

-2x+4y+3z=5

19. х+4y-3z=1

3x+y-8z=2

4x+4y-3z=3

20. x-2y+2z=2

2x-2y-3z=5

3x-2y+3z=2