Построить гистограмму, графики интегральной и дифференциальной функций распределения.
А) Построение гистограммы относительных частот СВ
Распространенный способ представления случайных величин – построение гистограммы.
В простейшем случае на оси абсцисс откладываются значения интервалов, а частоты в абсолютных единицах измерения изображаются прямоугольниками, построенными на соответствующих интервалах. В результате получается гистограмма – график, на котором ряд распределения представлен в виде смежных друг с другом областей. Интервалы должны иметь одинаковую величину и тогда высота столбиков гистограммы будет пропорциональна абсолютным частотам ряда распределения.
Рис.1 Гистограмма
Экспериментально полученный массив значений случайной величины содержит систематическую составляющую и случайный шум (ошибку). Это затрудняет обнаружение регулярных компонент при анализе или подборе аналитических описаний (формул) законов распределения случайных величин. Для выделения систематической составляющей исходные данные фильтруют, удаляя шум путем сглаживания. В зависимости от формы разложения ряда на систематическую d и случайную составляющие е различают аддитивную (x = d + е) и мультипликативную (у = de) модели.
После сглаживания получаем гистограмму следующего вида:
Рис.2 Гистограмма после сглаживания
Б) Построение интегральной функции распределения
Определение:
интегральной
функцией распределения называют функцию
F(x), определяющую для каждого значения
x случайной величины X вероятность того,
что величина X примет значение, меньшее
x, то есть F(x) = P(X < x)
.
Из
приведенного определения следует, что
интегральная функция является
первообразной для дифференциальной
функции. Отсюда, в частности, следует,
что для любой случайной величины
.
Рис.3 График интегральной функции распределения
В) Построение дифференциальной функции распределения
Наглядное представление о случайной величине дает дифференциальная функция распределения (плотность распределения).
Определение:
дифференциальной
функцией распределения, плотностью
вероятности или плотностью распределения
вероятностей f ( x ) называют первую
производную от интегральной функции
распределения F(x):
f ( x ) = F ' ( x )
.
Рис.4 Дифференциальная функция распределения.
Получить числовые характеристики св и параметры закона распределения.
А) Математическое ожидание – число, вокруг которого сосредоточены значения случайной величины. Математическое ожидание иногда называют средним значением случайной величины. Математическое ожидание случайной величины X обозначается M(X) .
M(X) = 117,4078
Б) Дисперсия случайной величины - мера разброса данной случайной величины, то есть её отклонения от математического ожидания.
Если случайная величина X имеет математическое ожидание M(X) , то дисперсией случайной величины X называется величина D(X) = M{[X – M(X)]2}. Другими словами, дисперсия характеризует математическое ожидание квадрата отклонений X от математического ожидания M(X).
D(X) = 47,35416
В) Среднее квадратичное отклонение (случайной величины) - положительный квадратный корень из значения дисперсии (оценка среднеквадратического отклонения случайной величины x относительно её математического ожидания)
